線形ボルツマン方程式

成分間にエネルギー・運動量の輸送がある場合，これまでのアインシュタイン 方程式だけでは不十分で，ボルツマン方程式を用いる必要がある．そこで，こ の節ではボルツマン方程式の線形摂動に対する基本的な式を導く．粒子種$a$ に対し，ボルツマン方程式(9.2.36)は，

$$P^\mu \frac{\partial f_a}{\partial x^\mu} - {\mit\Gamma}^\mu_{\nu\lambda} P^\nu P^\lambda \frac{\partial f_a}{\partial P^\mu} = C_a[f_a]$$ (J.8.249)

である．ここで，左辺のクリストッフェル記号の部分を式 (10.2.14)-(10.2.19)によって摂動の1次まで取ることにより，

$$P^0 {f_a}' + P^i \frac{\partial f_a}{\partial x^i}$$

$$\quad -\; \Bigl\{ {\cal H} \left[\left(P^0\right)^2 + \gamma_{i... ...] + A' \left(P^0\right)^2 + 2\left(A_{\vert i} - {\cal H} B_i \right) P^0 P^i$$

$$\qquad\quad +\, \left( -2{\cal H} \gamma_{ij} A + B_{i\vert j} ... ... 2 {\cal H} C_{ij} \right) P^i P^j \Bigr\} \frac{\partial f_a}{\partial P^0}$$

$$\quad -\; \Bigl\{ 2{\cal H} P^0 P^i + {}^{(3)}{\mit\Gamma}^i_{jk} P^j P^k + \left[ A^{\vert i} - (B^i)' - {\cal H} B^i\right] (P^0)^2$$

$$\qquad\quad +\; \left[ {B_j}^{\vert i} - {B^i}_{\vert j} + 2 ({C... ...C_{jk}}^{\vert i} \right) P^j P^k \Bigr\} \frac{\partial f_a}{\partial P^i}$$

$$= C_a[f_a] = P^0 \left.\frac{d f_a}{d\tau}\right\vert _{\rm coll}$$ (J.8.250)

となる．ここで， $\left.d f_a/d\tau\right\vert _{\rm coll}$ は単位共形時間あ たりの衝突項である．4元運動量ベクトル$P^\mu$ は質量殻上 $P^\mu P_\mu + m^2 c^2 = 0$ にある．この条件は摂動の1次で

$$(P^0)^2 - \gamma_{ij}P^i P^j - \frac{m^2 c^2}{a^2} + 2 A (P^0)^2 + 2 B_i P^0 P^i - 2 C_{ij} P^i P^j = 0$$ (J.8.251)

と表される．4元運動量$P^\mu$ の成分はしたがって3つのみが独立である．独 立変数として何をとるかは任意であるが，時間一定面( $\tau =一定$ )に垂直な 方向に時間軸を持つような(すなわちシフトベクトルがゼロであるような)座標 系における3次元運動量を用いると以下の計算が簡略化して便利である．その ような座標系としては座標条件として$B_i = 0$ を持つようなもの，例えばコ ンフォーマル・ニュートンゲージ(10.5.178)や，同期ゲージ (10.5.179)があり，ボルツマン方程式の計算はこれらのゲージで行われ ることも多い．だが，それでは特殊なゲージに依存した結果しか得られないの で，ここでは時空座標自体のゲージ固定はせずに，運動量の独立変数を選ぶと きのみ一時的に座標系を選ぶことにする．そこで，各時空座標点において，簡 単な局所座標$y^\mu$ を張って，その座標系での運動量ベクトルの成分の値を 独立変数とする．非摂動一様等方計量と同じ形の計量を持つ局所座標を取るこ とにすれば，そのテトラード $e^{(\alpha)}_\mu = \partial y^\alpha/\partial x^\mu$ は次の規格化をみたす：

$$e^{(0)}_\mu e^{(0)\mu} = -1, \qquad e^{(0)}_\mu e^{(i)\mu} = 0, \qquad e^{(i)}_\mu e^{(j)\mu} = \gamma^{ij}$$ (J.8.252)

計量の摂動の式(10.2.8)-(10.2.13)により，線形近似でこれらテ トラードは

$$e^{(0)}_\mu = a (1 + A) \delta^0_\mu\ , \qquad e^{(i)}_\mu = a \left(\delta^i_\mu - B^i \delta^0_\mu + {C^i}_j \delta^j_\mu \right)$$ (J.8.253)

と求められる．この局所座標での4元運動量 $P^\mu e^{(\alpha)}_\mu$ をスケー ルした次の量$q^\alpha$ を定義する：

$$q^0 = a P^\mu e^{(0)}_\mu = a^2 (1 + A) P^0$$ (J.8.254)

$$q^i = a P^\mu e^{(i)}_\mu = a^2 \left(P^i - B^i P^0 + {C^i}_j P^j \right)$$ (J.8.255)

ここで，質量殻の条件(10.8.252)は

$$(q^0)^2 = \gamma_{ij}q^i q^j + m^2 c^2 a^2$$ (J.8.256)

となり，$q^\alpha$ の独立成分は3つであるので，以下$q^0$ は従属変数と考え る．また，分布関数$f_a$ は非摂動部は運動量の絶対値にしか依らないので， このベクトル$q^i$ をさらに動径成分$q$ と方向ベクトル$n^i$ に分解すると都 合がよい：

$$q \equiv \sqrt{\gamma_{ij} q^i q^j} = a^2 \sqrt{\gamma_{ij} P^i P^j - 2 P^0 P^i B_i + 2 P^i P^j C_{ij}}$$

$$= a\sqrt{a^2 (P^0)^2 - m^2 c^2} \left(1 + \frac{a^2 (P^0)^2}{a^2(P^0)^2 - m^2 c^2} A \right)$$ (J.8.257)

$$n^i \equiv q^i/q$$

$$= \frac{a}{\sqrt{a^2(P^0)^2 - m^2 c^2}} \left( P^i - \frac{a^2 (P^0)^2}{a^2(P^0)^2 - m^2 c^2} A P^i - B^i P^0 + {C^i}_j P^j \right)$$ (J.8.258)

ここで，質量殻の条件式(10.8.252)を用いた．これらの変数$(q, n^i)$ を運動量の独立変数にとる．上式を逆に解けば，

$$P^0 = \frac{\sqrt{q^2 + m^2 c^2 a^2}}{a^2} (1 - A)$$ (J.8.259)

$$P^i = \frac{1}{a^2} \left( q n^i + \sqrt{q^2 + m^2 c^2 a^2} B^i - q {C^i}_j n^j \right)$$ (J.8.260)

となる．

これらの運動量空間の新変数$(q, n^i)$ を用いてボルツマン方程式 (10.8.251を表し直すことを考える．この変数変換の係数は時空座標に依 存しているので、偏微分の変換は次のようになる：

$$\frac{\partial f_a}{\partial \tau} \rightarrow \frac{\partial f_... ...tial q} + \frac{\partial n^i}{\partial \tau} \frac{\partial f_a}{\partial n^i}$$ (J.8.261)

$$\frac{\partial f_a}{\partial x^i} \rightarrow \frac{\partial f_a... ...rtial q} + \frac{\partial n^j}{\partial x^i} \frac{\partial f_a}{\partial n^j}$$ (J.8.262)

$$\frac{\partial f_a}{\partial P^\mu} \rightarrow \frac{\partial q... ...ial q} + \frac{\partial n^i}{\partial P^\mu} \frac{\partial f_a}{\partial n^i}$$ (J.8.263)

また，分布関数の非摂動部は$x^i, n^i$ に依らないので，

$$f_a(q, n^i, x^i, \tau) = \overline{f}_a(q, \tau) + \delta f_a(q, n^i, x^i, \tau)$$ (J.8.264)

と表す．ここで， $\overline{f}_a$ は非摂動部， $\delta f_a$ は摂動部である． これらのことに注意して線形の項まで残して計算すると，新変数による線形ボ ルツマン方程式は

$${f_a}' + \frac{q n^i}{\sqrt{q^2 + m^2 c^2 a^2}} \frac{\partial \... ...i\vert j} + {C_{ij}}'\right) n^i n^j \right] q \frac{\partial f_a}{\partial q}$$

$$\qquad\qquad -\; \frac{q}{\sqrt{q^2 + m^2 c^2 a^2}} {}^{(3)}{\mi... ... c^2 a^2}} (1 + A) C_a[f_a] = \left.\frac{d f_a}{d\tau}\right\vert _{\rm coll}$$

と，比較的簡単化する．非摂動のボルツマン方程式はしたがって

$${\overline{f}_a}' = \frac{a^2}{\sqrt{q^2 + m^2 c^2 a^2}} \overlin... ..._a[\overline{f}_a] = \left.\frac{d\overline{f}_a}{d\tau}\right\vert _{\rm coll}$$ (J.8.265)

となる．ここで $\overline{C}_a$ , $\left.{d\overline{f}_a}/{d\tau}\right\vert _{\rm coll}$ はそれぞれの衝 突項の非摂動部分である．また線形摂動部は

$${\delta f_a}' + \frac{q n^i}{\sqrt{q^2 + m^2 c^2 a^2}} \frac{\pa... ... {C_{ij}}'\right) n^i n^j \right] q \frac{\partial \overline{f}_a}{\partial q}$$

$$\qquad -\; \frac{q}{\sqrt{q^2 + m^2 c^2 a^2}} {}^{(3)}{\mit\Gamm... ...overline{f}_a]\right) = \left.\frac{d\delta f_a}{d\tau}\right\vert _{\rm coll}$$

となる．ここで $\delta C_a[f_a]$ は衝突項の線形摂動部， $\left.{d\delta f_a}/{d\tau}\right\vert _{\rm coll}$ は共形時間あたりの衝突項 の線形摂動部である．

巨視的変数は分布関数の積分で表される．エネルギー・運動量テンソルを考え ると，式(9.1.14)により，

$${{T_a}^\mu}_\nu = 2 c^2 \int d{\mit\Pi}P^\mu P_\nu f_a$$ (J.8.266)

で与えられる．ここで，運動量積分測度は式(9.1.2)で与えられ，ロー レンツ不変である．そこで，上で導入した局所座標系により式(9.1.3) と同様に評価すると，

$$d{\mit\Pi} = \frac{\sqrt{-g} d^4P}{(2\pi\hbar)^3 c}\; \theta(P^0) \delta(g_{\mu\nu}P^\mu P^\nu + m^2 c^2)$$

$$= \frac{d^4q}{(2\pi\hbar)^3 c a^4} \theta(q^0)\; \delta\left[\frac{(q^0)^2}{a^2} - \frac{q^2}{a^2} - m^2 c^2\right]$$

$$= \frac{d^4q}{(2\pi\hbar)^3 2c a^3 q^0} \delta\left(\frac{q^0}{a} - \sqrt{\frac{q^2}{a^2} + m^2 c^2}\right)$$

$$= \frac{d^3q}{(2\pi\hbar)^3 2ca^2\sqrt{q^2 + m^2 c^2 a^2}}$$ (J.8.267)

となる．また，角度積分

$$\int \frac{d{\mit\Omega}_q}{4\pi} n^i = \int \frac{d{\mit\Omega}_... ... n^k = 0, \qquad \int \frac{d{\mit\Omega}_q}{4\pi} n^i n_j = \frac13 \delta^i_j$$ (J.8.268)

を用い，式(10.8.260), (10.8.261)によって式(10.8.269) を計算すれば，1次までで

$${{T_a}^0}_0 = - \frac{c}{a^4} \int \frac{d^3q}{(2\pi\hbar)^3} \sqrt{q^2 + m^2 c^2 a^2} \left(\overline{f}_a + \delta f_a \right)$$ (J.8.269)

$${{T_a}^0}_i = \frac{c}{a^4} \int \frac{d^3q}{(2\pi\hbar)^3} q n_i \delta f_a$$ (J.8.270)

$${{T_a}^i}_j = \frac{c}{a^4} \int \frac{d^3q}{(2\pi\hbar)^3} \frac{q^2}{\sqrt{q... ...2 c^2 a^2}} \left(\frac13 \delta^i_j \overline{f} + n^i n_j \delta f_a \right)$$ (J.8.271)

を得る．したがって，エネルギー密度$\rho_a$ , 圧力$p_a$ ，速度$v_{ai}$ , および非等方ストレス ${{\mit\Pi}^i}_j$ は式(10.4.119)-(10.4.123)か ら

$$\rho_a = - {{T_a}^0}_0, \quad p_a = \frac13 {{T_a}^i}_i, \quad v_... ...\rho_a + p_a}, \quad {{{\mit\Pi}_a}^i}_j = \frac{{{T_a}^i}_j}{p_a} - \delta^i_j$$ (J.8.272)

により求められる．したがって，非摂動部について

$$\overline{\rho}_a = \frac{c}{a^4} \int \frac{d^3q}{(2\pi\hbar)^3} \sqrt{q^2 + m^2 c^2 a^2} \,\overline{f}_a$$ (J.8.273)

$$\overline{p}_a = \frac{c}{3 a^4} \int \frac{d^3q}{(2\pi\hbar)^3} \frac{q^2}{\sqrt{q^2 + m^2 c^2 a^2}} \overline{f}_a$$ (J.8.274)

$$\overline{v}_{ai} = 0$$ (J.8.275)

$${{\overline{{\mit\Pi}}_a}^i}_j = 0$$ (J.8.276)

線形摂動部について

$$\delta\rho_a = \frac{c}{a^4} \int \frac{d^3q}{(2\pi\hbar)^3} \sqrt{q^2 + m^2 c^2 a^2} \,\delta f_a$$ (J.8.277)

$$\delta p_a = \frac{c}{3 a^4} \int \frac{d^3q}{(2\pi\hbar)^3} \frac{q^2}{\sqrt{q^2 + m^2 c^2 a^2}} \delta f_a$$ (J.8.278)

$$v_{a\,i} - B_i = \frac{1}{\overline{\rho}_a + \overline{p}_a} \frac{c}{a^4} \int \frac{d^3q}{(2\pi\hbar)^3} q n_i \delta f_a$$ (J.8.279)

$${{{\mit\Pi}_a}^i}_j = \frac{1}{\overline{p}_a} \frac{c}{a^4} \i... ...sqrt{q^2 + m^2 c^2 a^2}} \left( n^i n_j - \frac13 \delta^i_j \right)\delta f_a$$ (J.8.280)

となる．

最後に分布関数のゲージ変換を調べておく．まず運動量は $P^\mu=dx^\mu/d\lambda$ で定義されている．ここで，粒子の運動量はベクトル場では なく場のゲージ変換とは異なることに注意する．するとゲージ変換 $x^\mu \rightarrow \tilde{x}^\mu = x^\mu + \xi^\mu$ に対して

$$P^\mu \rightarrow \tilde{P}^\mu = P^\mu + {\xi^\mu}_{,\nu} P^\mu$$ (J.8.281)

と変換する．そこで$q$ の定義に現れる変数のゲージ変換は

$$a(\tau) \rightarrow a(\tilde{\tau}) = a(\tau) + a {\cal H} T$$ (J.8.282)

$$P^0 \rightarrow \tilde{P^0} = P^0 + P^0 T' + P^i T_{,i}, \qquad$$ (J.8.283)

$$A \rightarrow \tilde{A} = A - T' - {\cal H} T$$ (J.8.284)

となる．ここで，第10章と同様に $\xi^\mu = (T,L^i)$ という記法を 用いている．これらの式から，式(10.8.258)の変換を計算すると，

$$q \rightarrow \tilde{q} = q + q {\cal H} T + \sqrt{q^2 + m^2 c^2 a^2}\, n^i T_{,i}$$ (J.8.285)

となる．分布関数のスカラー性により， $\tilde{f}_a(\tilde{x},\tilde{q},\tilde{n}) = f_a(x,q,n)$ である．ここ で，方向依存性は非摂動部を持たないので，$n^i$ のゲージ変換は線形項には 効かないことに注意して，ゲージ変換を計算すると，

$$\widetilde{\delta f}_a = \delta f_a - {\overline{f}_a}' T - \left... ...m^2 c^2 a^2}}{q} n^i T_{,i}\right) q \frac{\partial \overline{f}_a}{\partial q}$$ (J.8.286)

となる．変換にはこのゲージ変換にはスカラー成分しか含まれないので，スカ ラー摂動のみ考えれば十分である．式(10.3.56)-(10.3.59)によ りゲージ不変な分布関数の摂動を次のように定義することができる：

$${\delta f}^{\rm (GI)}_a = \delta f_a - {\overline{f}_a}' \left(B^{\rm (S)} + {C^{\rm (S)}}'\right)$$

$$\qquad\qquad -\; \left[{\cal H} \left(B^{\rm (S)} + {C^{\rm (S)}... ...{C^{\rm (S)}}'\right)_{,i}\right] q \frac{\partial \overline{f}_a}{\partial q}$$ (J.8.287)

このゲージ不変分布関数を用いて摂動ボルツマン方程式(10.8.268)を 書き直す．非摂動方程式(10.8.267)を用いて $\overline{f}_a$ の時間 微分を消しながら注意深く計算すれば，次のゲージ不変な方程式を得る：

$${\delta f^{\rm (GI)}_a}' + \frac{q n^i}{\sqrt{q^2 + m^2 c^2 a^2}}... ...{\vert i} + {\mit\Psi}' \right) q \frac{\partial \overline{f}_a}{\partial q}$$

$$\qquad -\; \frac{q}{\sqrt{q^2 + m^2 c^2 a^2}} {}^{(3)}{\mit\Gamm... ...ft(\delta C^{\rm (GI)}_a[f_a] + {\mit\Phi}\overline{C}_a[\overline{f}_a]\right)$$ (J.8.288)

ここで，ゲージ不変な摂動衝突項を次のように定義した．

$${\delta C}^{\rm (GI)}_a = \delta C_a - {\overline{C}_a}' \left(B^{\rm (S)} + {C^{\rm (S)}}'\right)$$

$$\qquad\qquad -\; \left[{\cal H} \left(B^{\rm (S)} + {C^{\rm (S)}... ...{C^{\rm (S)}}'\right)_{,i}\right] q \frac{\partial \overline{C}_a}{\partial q}$$ (J.8.289)

衝突項は $x^\mu, q, n^i$ の関数として分配関数と同様にスカラーとして変換 するから，このゲージ不変量の定義は分布関数における式(10.8.290)と 類似のものになっている．

また，ゲージ不変な巨視的変数をゲージ不変分布関数で表すこともできる．式 (10.8.280)-(10.8.283)は，式(10.8.290)を積分すること によって，

$$\delta\rho^{\rm (GI)}_a \equiv \delta\rho_a - {\overline{\rho}... ...nt \frac{d^3q}{(2\pi\hbar)^3} \sqrt{q^2 + m^2 c^2 a^2} \,\delta f^{\rm (GI)}_a$$ (J.8.290)

$$\delta p^{\rm (GI)}_a \equiv \delta p_a - {\overline{p}_a}'\le... ...3q}{(2\pi\hbar)^3} \frac{q^2}{\sqrt{q^2 + m^2 c^2 a^2}} \delta f^{\rm (GI)}_a$$ (J.8.291)

$${v^{\rm (GI)}_a}_{\vert i} \equiv v^{(\rm (S)}_{a\,\vert i} + {C... ...a} \frac{c}{a^4} \int \frac{d^3q}{(2\pi\hbar)^3} q n_i \delta f^{(\rm (GI)}_a$$ (J.8.292)

$${{{\mit\Pi}^{\rm (S)}_a}^{\vert i}}_{\vert j} - \frac13 \delta^i... ...+ m^2 c^2 a^2}} \left( n^i n_j - \frac13 \delta^i_j \right)\delta f^{\rm (GI)}$$ (J.8.293)

と表すことができる．すなわち，式(10.7.234), (10.7.235)で与え られたように，流体の巨視的変数に対して定義したゲージ不変量に対して，こ こで与えた分布関数のゲージ不変量は自然な定義となっている．

ベクトル型摂動についてのボルツマン方程式は式(10.8.268)のベク トル型成分を取ることにより、式(10.4.86)のベクトル型ゲージ不変ポテ ンシャル$\psi_i$ を用いて，

$${\delta f_a^{\rm (V)}}' + \frac{q n^i}{\sqrt{q^2 + m^2 c^2 a^2}}... ...al x^i} - \psi_{i\vert j} n^i n^j q \frac{\partial \overline{f}_a}{\partial q}$$

$$\qquad -\; \frac{q}{\sqrt{q^2 + m^2 c^2 a^2}} {}^{(3)}{\mit\Gamm... ...m (V)}[f_a] = \left.\frac{d\delta f_a}{d\tau}\right\vert _{\rm coll}^{\rm (V)}$$

となる．ここで $\delta f_a$ のゲージ変換(10.8.289)はベクトル型の変 換をしないので、 $\delta f_a^{\rm (V)}$ はそのままゲージ不変量である． また，第2,3項はそれぞれの衝突項のベクトル型成分であり、左辺がゲージ不 変なので，衝突項もゲージ不変となる．

最後にテンソル型摂動の方程式は

$${\delta f_a^{\rm (T)}}' + \frac{q n^i}{\sqrt{q^2 + m^2 c^2 a^2}}... ...i} - {C^{\rm (T)}_{ij}}' n^i n^j q \frac{\partial \overline{f}_a}{\partial q}$$

$$\qquad -\; \frac{q}{\sqrt{q^2 + m^2 c^2 a^2}} {}^{(3)}{\mit\Gamm... ...m (T)}[f_a] = \left.\frac{d\delta f_a}{d\tau}\right\vert _{\rm coll}^{\rm (T)}$$

となり，これはそのままゲージ不変である．