天体分布のキュムラント母汎関数

天体の分布のような離散的な点分布についての高次相関関数を与える母汎関数 を次に考えてみる．§15.1.2で考えたように、空間を微小体積 $\delta V_i$ に分割して，その中の天体の数を$m_i$ とすると，$m_i =0, 1$ のみ である．この分割された空間で、式(15.2.44)で定義される、微小体 積 $\delta V_i$ の個数のゆらぎ $\delta_{{\rm g}i}$ を考えれば，離散分布の 相関関数は式(15.2.45)で与えられる。微小体積を無限小にした連続 極限においては、 $\delta_{\rm g}$ は天体のある場所にデルタ関数が立ってい るような、特異な場となる。実際、天体のある場所を ${\mbox{\boldmath $r$}}_a$ とすると、 この極限で式(15.2.44)は、

$$\delta_{\rm g}({\mbox{\boldmath$x$}}) = \sum_a \frac{1}{\bar{n}}\delta^3\left({\mbox{\boldmath$x$}} - {\mbox{\boldmath$r$}}_a\right) - 1$$ (O.3.70)

となっている。すると、このような極限において離散分布 $\delta_{\rm g}({\mbox{\boldmath $x$}})$ のモーメント母関数は

$$Z_{\rm g}[J] = \left\langle \exp\left(-\int d^3x J({\mbox{\boldmath$x$}}) \delta_{\rm g}({\mbox{\boldmath$x$}})\right) \right\rangle$$ (O.3.71)

と定義される。ここで、式(15.2.45)とキュムラント展開定理から、

$$\xi^{(N)}_{{\rm g}12\cdots N} = (-1)^N \left. \frac{\delta^N \ln ... ...oldmath$x$}}_1) \cdots \delta J({\mbox{\boldmath$x$}}_N)} \right\vert _{J(x)=0}$$ (O.3.72)

となる。

ここで、離散分布のモーメント母関数(15.3.71)を連続場と結び付ける ため、天体の数密度を表す場を $n({\mbox{\boldmath $x$}})$ としよう．この数密度場は質量の 密度場に比例するものとする．すなわちこれは§15.1.2で考えた， バイアスのないポアソンモデルである．微小体積 $\delta V_i$ の数密度の値を $n_i = n({\mbox{\boldmath $x$}}_i)$ とする． 式(15.3.71)を微小体積の和で表し直して、

$$Z_{\rm g}[J] = \left\langle \exp\left(- \sum_i \delta V_i J_i \de... ...t) \left\langle \prod_i \exp\left(-\frac{J_i m_i}{\bar{n}}\right) \right\rangle$$ (O.3.73)

となるが、ここで$m_i =0, 1$ のみであること、および、密度場が固定されてい るときのポアソン平均は $\langle m_i\vert n_i\rangle = n_i \delta V_i$ である ことから、

$$\left\langle \prod_i \exp\left(-\frac{J_i m_i}{\bar{n}}\right) \r... ...\left[1 - \left(1 - e^{-J_i/\bar{n}}\right) n_i \delta V_i\right] \right\rangle$$

$$\quad = \left\langle \prod_i\exp\left[ - \left(1 - e^{-J_i/\bar{n... ...t[-\sum_i \delta V_i \left(1 - e^{-J_i/\bar{n}}\right) n_i\right] \right\rangle$$ (O.3.74)

と計算される。したがって、結局

$$Z_{\rm g}[J] = \exp\left[\int d^3x J({\mbox{\boldmath$x$}})\right... ...ze\boldmath$x$}})/\bar{n}}\right) n({\mbox{\boldmath$x$}})\right] \right\rangle$$ (O.3.75)

であることがわかる。さらに、数密度場は連続的な密度ゆらぎ $\delta({\mbox{\boldmath $x$}})$ により

$$n({\mbox{\boldmath$x$}}) = \bar{n}\left[1 + \delta({\mbox{\boldmath$x$}})\right]$$ (O.3.76)

で与えられることから、式(15.3.67)で与えられる連続的な密度ゆら ぎのモーメント母汎関数$Z[J]$ を用いれば、

$$Z_{\rm g}[J] = \exp\left[ \int d^3x J({\mbox{\boldmath$x$}}) - \b... ...\bar{n}\left(1 - e^{-J({\mbox{\scriptsize\boldmath$x$}})/\bar{n}}\right)\right]$$ (O.3.77)

となる。したがって、キュムラントの母汎関数の間に

$$\ln Z_{\rm g}[J] = \int d^3x J({\mbox{\boldmath$x$}}) - \bar{n}\i... ...\bar{n}\left(1 - e^{-J({\mbox{\scriptsize\boldmath$x$}})/\bar{n}}\right)\right]$$ (O.3.78)

という関係があることがわかる。