スローロール近似

モード関数を完全に一般の場合に求めることはできないが，インフレーション において必要なスローロール近似の下で近似的に求めることを考える．この場 合，ポテンシャルの形がいくつかの条件を満たす必要がある．このときに，ポ テンシャルから導かれるパラメータで，スローロールに際して小さくなるよう な量を求めておくと便利である．スローロール近似では式(5.3.38), (5.3.39)，すなわち

$$\vert\dot{\bar{\phi}}\vert^2 \ll c^2 V$$ (K.2.63)

$$\vert\ddot{\bar{\phi}}\vert \ll c^2 V_{,\phi}$$ (K.2.64)

を要請した．これにより，フリードマン方程式と場の運動方程式は

$$H^2 \simeq \frac{8\pi G}{3 c^2} V(\phi)$$ (K.2.65)

$$\dot{\phi} \simeq - \frac{c^2}{3H} V_{,\phi}$$ (K.2.66)

と近似できるのであった．

条件(11.2.63), (11.2.64)をコンフォーマル時間の微分に よって表せば

$$\vert\bar{\phi}'\vert^2 \ll a^2 V$$ (K.2.67)

$$\vert\bar{\phi}'' - {\cal H} \bar{\phi}'\vert \ll a^2 V_{,\phi}$$ (K.2.68)

となり，フリードマン方程式(10.4.72)と場の運動方程式 (11.2.5)は

$${\cal H}^2 \simeq \frac{8\pi G}{3c^4} a^2 V(\phi)$$ (K.2.69)

$$\bar{\phi}' \simeq - \frac{a^2}{3{\cal H}} V_{,\phi}$$ (K.2.70)

と近似できる．

この最後の式(11.2.70)によりスローロールのはじめの条件 (11.2.67)からは

$$\frac{a^2 (V_{,\phi})^2}{V} \ll {\cal H}^2$$ (K.2.71)

が要請される．さらに式(11.2.70)とこれを微分したものを用いると

$$\bar{\phi}'' - {\cal H} \bar{\phi}' \simeq \frac13 a^2 V_{,\phi} ... ...frac{{\cal H}'}{{\cal H}^2} - 1 + \frac{a^2 V_{,\phi\phi}}{3{\cal H}^2} \right)$$ (K.2.72)

となるが，式(11.2.33), (11.2.67)および式 (11.2.69)から ${\cal H}' \simeq {\cal H}^2$ である．したがってス ローロールの２番目の条件(11.2.68)からは

$$a^2 V_{,\phi\phi} \ll {\cal H}^2$$ (K.2.73)

が要請される．これらの式(11.2.71)と(11.2.73)に式 (11.2.69)を代入すれば，次のパラメータ

$$\epsilon \equiv \frac{c^4}{16\pi G} \left(\frac{V_{,\phi}}{V}\right)^2$$ (K.2.74)

$$\eta \equiv \frac{c^4}{8\pi G} \frac{V_{,\phi\phi}}{V}$$ (K.2.75)

が小さくなっていることがわかる．これらのパラメータをスローロールパラメー タと呼び，スローロール近似が成り立つときには必ず小さくなっていなければ ならない量である．

式(11.2.33), (11.2.70)および(11.2.73)を用いる とこれらのスローロールパラメータはスローロール近似が成り立つ限り

$$\epsilon \simeq \frac{4\pi G}{c^4} \frac{\bar{\phi}'^2}{{\cal H}^2} = 1 - \frac{{\cal H}'}{{\cal H}^2}$$ (K.2.76)

$$\eta \simeq \epsilon + 1 - \frac{\bar{\phi}''}{{\cal H} \bar{\phi}'}$$ (K.2.77)

とも表すことができる．ここで $cdt = ad\tau$ , ${\cal H} = a H/c$ によりパ ラメータ$\epsilon$ は

$$\epsilon \simeq - \frac{\dot{H}}{H^2}$$ (K.2.78)

と書ける．つまりパラメータ$\epsilon$ はハッブルパラメータが完全に一定 であるド・ジッター宇宙からのずれを表している．

スローロールパラメータを用いて状態方程式の変数$w$ および音速$c_s^2$ に 対応する量を１次まで求めてみると，(11.2.10), (11.2.11), (11.2.35)から

$$w \simeq -1 + \frac23 \epsilon$$ (K.2.79)

$$c_s^2 \simeq -1 - \frac23 (\epsilon - \eta)$$ (K.2.80)

が得られる．

スローロール近似ではポテンシャルは非常に平坦だからパラメータ $\epsilon$ , $\eta$ は時間的にほぼ一定にとどまる．そこでインフレーション の間これらのパラメータは近似的に一定値をとると考えられる．このことを具 体的に見るため，スローロールパラメータの定義式を微分して，式 (11.2.69), (11.2.70)を用いると

$$\epsilon' \simeq 2{\cal H} \epsilon (\epsilon -\eta)$$ (K.2.81)

$$\eta' \simeq {\cal H}^2 \left(2\epsilon\eta - \xi^2\right)$$ (K.2.82)

が得られる．ここで新たなスローロールパラメータとして

$$\xi^2 \equiv \left(\frac{c^4}{8\pi G}\right)^2 \frac{V_{,\phi}V_{,\phi\phi\phi}}{V^2}$$ (K.2.83)

を導入した．このパラメータはポテンシャルの微分を４回含んでいる．一方， 他のスローロールパラメータは微分を２回しか含んでいないので，他のパラメー タの２次の量である．例えば $V \sim \phi^p$ と表される場合を考えてみれば $\epsilon \sim \vert\eta\vert \sim \vert\xi\vert\sim c^4/(8\pi G \phi^2)$ であることが わかる．したがってスローロールパラメータ$\epsilon$ , $\eta$ の時間微分は スローロールパラメータの２次の量となり，１次近似では一定と考えられるこ とを示している．

次に，スローロール近似の下，モード関数を求める微分方程式(11.2.49) を解く．そのため，まず$z''/z$ をスローロール近似において求める．式 (11.2.76), (11.2.77)からただちにスローロールの１次近 似で

$${\cal H}' \simeq (1-\epsilon){\cal H}^2$$ (K.2.84)

$$\bar{\phi}'' \simeq (1 + \epsilon - \eta){\cal H}\bar{\phi}'$$ (K.2.85)

がわかるが，これを用いて $z=a\bar{\phi}'/{\cal H}$ を微分すると同じく一 次近似で

$$z' \simeq (1 + 2\epsilon - \eta) {\cal H} z$$ (K.2.86)

$$z'' \simeq (2 + 5\epsilon - 3\eta) {\cal H}^2 z$$ (K.2.87)

であることがわかる．ここで２番目に式を導くのに，スローロールパラメータ $\epsilon$ , $\eta$ の微分は２次の量であることから落としてある．ここで式 (11.2.84)は，１次近似で$\epsilon$ が一定であることから積分する ことができ，関係式

$$(1-\epsilon)\tau \simeq - \frac{1}{\cal H}$$ (K.2.88)

を得る．ただし基準点$\tau = 0$ を無限の未来にとった．したがって式 (11.2.87)により

$$\frac{z''}{z} \simeq \frac{2 + 5\epsilon - 3\eta}{(1-\epsilon)^2 \tau^2} \simeq (2 + 9\epsilon - 3\eta)\frac{1}{\tau^2}$$ (K.2.89)

と表される．ここで，

$$\frac{z''}{z} = \left(\nu^2 - \frac14\right)\frac{1}{\tau^2}$$ (K.2.90)

とおくと便利であり，このとき$\nu$ は

$$\nu \simeq \frac32 + 3\epsilon - \eta$$ (K.2.91)

となって，一次近似で一定値をとることがわかる．微分方程式 (11.2.49)はしたがって

$$\frac{d^2 u_k}{d\tau^2} + \left[k^2 - \left(\nu^2 - \frac14\right)\frac{1}{\tau^2}\right] u_k = 0$$ (K.2.92)

となる．ここで$\nu$ が一定であればこれはベッセル微分方程式であるから， スローロールの一次近似の範囲内で一般解が求まることになる．その解は

$$u_k(\tau) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\sqrt{-k\tau} \left[ \alpha_k H^{(1)}_\nu(-k\tau) + \beta_k H^{(2)}_\nu(-k\tau) \right]$$ (K.2.93)

で与えられ，ここで $H^{(1)}_\nu$ , $H^{(2)}_\nu$ はそれぞれ第１種および第２ 種ハンケル関数である．また$\alpha_k$ , $\beta_k$ は積分定数であるが，規 格化(11.2.51)を満たすためには

$$\vert\alpha_k\vert^2 - \vert\beta_k\vert^2 = 1$$ (K.2.94)

であることが要請される．ここで積分定数を決定しない限りモード関数に不定 性があることに注意しよう．モード関数が決定しなければ真空(基底状態)も定 義できないことになる．一般に曲がった時空における真空の定義には不定性が あり，観測者によって真空状態が異なって見えることに対応している．この不 定性は膨張のスケールよりもずっと小さい短波長極限$k\gg aH$ ( $-k\tau \gg 1$ )において平坦なミンコフスキー時空における平面波解(11.2.57); $u_k = e^{-ik\tau}$ に一致するものを選ぶことにより除去される．このよう に選ばれる真空をバンチ・デービス真空と呼ばれる．ハンケル関数の $x\rightarrow \infty$ における漸近形は

$$H^{(1)}_\nu(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \exp \left[ i\left(x - \frac{\pi}{4} - \frac{\pi\nu}{2}\right) \right]$$ (K.2.95)

$$H^{(2)}_\nu(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \exp \left[ -i\left(x - \frac{\pi}{4} - \frac{\pi\nu}{2}\right) \right]$$ (K.2.96)

となるので， $\alpha_k = \exp[i(\nu + 1/2)\pi/2]$ , $\beta_k = 0$ と 選べばよいことがわかる．したがって結局解は

$$u_k(\tau) = \sqrt{\frac{\pi}{2}} e^{i\pi(\nu + 1/2)/2} \sqrt{-k\tau} H^{(1)}_\nu(-k\tau)$$ (K.2.97)

で与えられることになる．

第一種ハンケル関数の $x\rightarrow 0$ における漸近形は

$$H^{(1)}_\nu(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi}} e^{-i\pi/2} 2^{\nu - 3/2} \frac{{\mit\Gamma}(\nu)}{{\mit\Gamma}(3/2)} x^{-\nu}$$ (K.2.98)

であることから，解の長波長極限，つまり超ホライズンスケール$k\ll aH$ ( $-k\tau \ll 1$ )における漸近形は

$$u_k \sim e^{i\pi(\nu - 1/2)/2} 2^{\nu - 3/2} \frac{{\mit\Gamma}(\nu)}{{\mit\Gamma}(3/2)} (-k\tau)^{1/2 - \nu}$$ (K.2.99)

で与えられる．ここでスローロールの最低次で $-\tau \simeq {\cal H}^{-1}$ であること，および式(11.2.76)から導かれる

$$z \simeq \frac{c^2 a \sqrt{\epsilon}}{\sqrt{4\pi G}}$$ (K.2.100)

を用いれば，式(11.2.61)の係数は

$$C(k) = \lim_{k\rightarrow 0}\left\vert\frac{u_k}{z}\right\vert = ... ...}{c^3 \sqrt{\epsilon}}\frac{H}{k} \left(\frac{ck}{aH}\right)^{\eta - 3\epsilon}$$ (K.2.101)

となる．