背景時空の方程式

背景時空の方程式は以前求めたフリードマン・ルメートルモデルであるが、こ れをコンフォーマル時間を使った式に書き直しておこう。まず、上で求めたア インシュタインテンソル(10.2.38)-(10.2.41)の非摂動部分から

$${{\overline{G}}^0}_0 = - \frac{3}{a^2} \left[{\cal H}^2 + K\right]$$ (J.4.66)

$${{\overline{G}}^i}_0 = {{\overline{G}}^0}_i = 0$$ (J.4.67)

$${{\overline{G}}^i}_j = - \frac{1}{a^2} \left[ 2 {\cal H}' + {\cal H}^2 + K \right] \delta^i_j$$ (J.4.68)

である。したがって、アインシュタイン方程式は

$$\frac{1}{a^2} \left[{\cal H}^2 + K\right] = - \frac{8 \pi G}{3c^4} {\overline{T}^0}_0 + \frac{\Lambda}{3}$$ (J.4.69)

$${\overline{T}^0}_i = {\overline{T}^i}_0 = 0$$ (J.4.70)

$$\frac{1}{a^2} \left[ 2 {\cal H}' + {\cal H}^2 + K \right] \delta^i_j = - \frac{8 \pi G}{c^4} {\overline{T}^i}_j + \Lambda \delta^i_j$$ (J.4.71)

となる。非摂動エネルギー運動量テンソルは ${\overline{T}^0}_0 = - \overline{\rho}, {\overline{T}^0}_i = {\overline{T}^i}_0 = 0, {\overline{T}^i}_j = \overline{p} \delta^i_j$ であるから、これらの方程式は次のものに同値である。

$${\cal H}^2 + K = \frac{8 \pi G}{3c^4} a^2 \overline{\rho} + \frac13 \Lambda a^2$$ (J.4.72)

$${\cal H}' = - \frac{4 \pi G}{3c^4} a^2 \left(\overline{\rho} + 3 \overline{p} \right) +\frac13 \Lambda a^2$$ (J.4.73)

さらに、これら２つの式から導かれるエントロピー保存の式は

$${\overline{\rho}}' = -3 {\cal H} \left( \overline{\rho} + \overline{p} \right)$$ (J.4.74)

である。時間依存する宇宙論パラメータと圧力-密度比$w$ は，

$$\Omega = \frac{8\pi G a^2}{3c^4 {\cal H}^2}\overline{\rho}$$ (J.4.75)

$$\lambda = \frac{\Lambda a^2}{3c^4 {\cal H}^2}$$ (J.4.76)

$$w = \frac{\overline{p}}{\overline{\rho}}$$ (J.4.77)

で与えられ，上の式をこれらのパラメータにより書き直した式が有用で ある：

$$K = {\cal H}^2(\Omega + \lambda - 1)$$ (J.4.78)

$${\cal H}' = {\cal H}^2 \left( -\frac{1+3w}{2}\Omega + \lambda \right)$$ (J.4.79)

$$w' = -3{\cal H}(1+w) \left({c_s}^2 - w\right)$$ (J.4.80)

ここで、背景時空はエントロピー$S$ を保存しているので、

$${c_{\rm s}}^2 \equiv \frac{\overline{p}'}{\overline{\rho}'} = \le... ...t( \frac{\partial \overline{p}}{\partial \overline{\rho}} \right)\right\vert _S$$ (J.4.81)

は音速に対応する。式(10.4.78), (10.4.79)から$\lambda$ を消去した式

$${\cal H}' = {\cal H}^2 + K - \frac{4 \pi G a^2}{c^4} \left(\overline{\rho} + \overline{p} \right)$$

$$= {\cal H}^2 + K - \frac32 {\cal H}^2 (1 + w) \Omega$$ (J.4.82)

も有用である．摂動項の計算において，${\cal H}'$ , $w'$ が現れてきたらこれら の関係式によって消去してよい．