テンソル型摂動

まず、テンソル型摂動計量 $C^{\rm (T)}$ については式(10.3.62)により、 それ自身ゲージ不変である。これはもともと座標変換の自由度であるゲージ変 換にはテンソル型の成分は含まれていないからである。アインシュタインテン ソルの摂動部分について、テンソル型摂動の寄与を取り出すと次のようになる。

$$\delta {{G^{\rm (T)}}^0}_0 = \delta {{G^{\rm (T)}}^0}_i = \delta {{G^{\rm (T)}}^i}_0 = 0$$ (J.4.83)

$$\delta {{G^{\rm (T)}}^i}_j = \frac{1}{a^2} \left[ \left({{C^{\rm ... ... (T)}}^i}_j\right)' - \left( \triangle - 2K \right) {{C^{\rm (T)}}^i}_j \right]$$

$$\qquad\qquad\qquad$$ (J.4.84)

したがって、テンソル型の運動方程式は

$$\left({{C^{\rm (T)}}^i}_j\right)'' + 2 {\cal H}\left({{C^{\rm (T)... ...\right) {{C^{\rm (T)}}^i}_j = \frac{8\pi G}{c^4} a^2 \delta {{T^{\rm (T)}}^i}_j$$ (J.4.85)

となり、これはそのままゲージ不変な方程式である。