ベクトル型摂動

次に、ベクトル型摂動計量 $B^{\rm (V)}_i, C^{\rm (V)}_i$ を考える。これら はゲージに依存するので、ゲージ自由度を含まないような線形な組合せとして

$$\psi_i = B^{\rm (V)}_i + \left( C^{\rm (V)}_i\right)'$$ (J.4.86)

を作ることができる。これ以外のゲージ不変な組合せはない。運動方程式であ るアインシュタイン方程式はもちろんゲージ変換で不変であり、ゲージ自由度 を決める情報は含まれ得ないので、このゲージ不変な変数のみが現れて来るは ずである。そこでアインシュタインテンソルの摂動部分について、ベクトル型 摂動の寄与を取り出すと次のようになる。

$$\delta {{G^{\rm (V)}}^0}_0 = 0$$ (J.4.87)

$$\delta {{G^{\rm (V)}}^0}_i = - \frac{1}{2a^2} \left(\triangle + 2K \right) \psi_i$$ (J.4.88)

$$\delta {{G^{\rm (V)}}^i}_0 = \frac{1}{2a^2} \left\{ \left( \trian... ...) \psi^i + 4 \left[ {\cal H}' - {\cal H}^2 - K \right] {B^{\rm (V)}}^i \right\}$$ (J.4.89)

$$\delta {{G^{\rm (V)}}^i}_j = \frac{1}{2a^2} \left[ \left( {\psi^i... ...ht)' + 2 {\cal H}\left( {\psi^i}_{\vert j} + {\psi_j}^{\vert i} \right) \right]$$ (J.4.90)

この式の導出には、３次元空間における共変微分の交換関係を繰り返し使った． また，ゲージ不変量(10.4.65)を用いて $C^{\rm (V)}$ を消去した．アイ ンシュタイン方程式において、 $({{}^0}_i)$ 成分と $({{}^i}_0)$ 成分は同値 な方程式を与えるので、結局ベクトル型の運動方程式は

$$\left( \triangle + 2K \right) \psi_i = - \frac{16\pi G}{c^4} a^2 \delta {{T^{\rm (V)}}^0}_i$$ (J.4.91)

$$\left( {\psi^i}_{\vert j} + {\psi_j}^{\vert i} \right)' + 2 {\cal... ...{\psi_j}^{\vert i} \right) = \frac{16\pi G}{c^4} a^2 \delta {{T^{\rm (V)}}^i}_j$$ (J.4.92)

となる。 ここで、左辺はゲージ不変量だけで書けているので、どのような運動量エネル ギーテンソルであろうとも、右辺の $\delta {{T^{\rm (V)}}^0}_i$ および $\delta {{T^{\rm (V)}}^i}_j$ はゲージ不変となるはずである。一方、 $\delta {{T^{\rm (V)}}^i}_0$ は一般にはゲージ不変ではない。