エネルギー運動量テンソルの摂動

エネルギー・運動量テンソルの表式(B.1.28)からその摂動部分を求め る。まずこの表式に現れてくる４元速度は規格化条件 $u^\mu u_\mu = -1$ によ り自由度は３である。この３つの自由度を空間的速度 $v^i = u^i/u^0$ に取る。 非摂動時空では等方 $(u^\mu) \propto (1,0,0,0)$ であるから、$v^i$ は摂動の １次の量である。この自由度により、一次までのオーダーで

$$u^\mu = a^{-1} \left(1 - A, v^i \right)$$ (J.4.112)

$$u_\mu = a\left(- 1 - A, v_i - B_i \right)$$ (J.4.113)

という形になる。ここから、射影テンソル ${P^\mu}_\nu = \delta^\mu_\nu + u^\mu u_\nu$ は次のようになる。

$${P^0}_0 = 0$$ (J.4.114)

$${P^0}_i = v_i - B_i$$ (J.4.115)

$${P^i}_0 = - a v^i$$ (J.4.116)

$${P^i}_j = \delta^i_j$$ (J.4.117)

これらの表式を、エネルギー・運動量テンソル(B.1.28)の表 式に入れれば一次までのオーダーで、

$${T^0}_0 = - \rho$$ (J.4.118)

$${T^0}_i = (\rho + p)\left(v_i - B_i\right)$$ (J.4.119)

$${T^i}_0 = - (\rho + p) v^i$$ (J.4.120)

$${T^i}_j = p \delta^i_j + {\Sigma^i}_j$$ (J.4.121)

を得る。ここで、エネルギー密度を非摂動部と摂動部に分けて、 $\rho = \overline{\rho} (1 + \delta)$ と書く。ここで、$\delta$ はエネルギー密度ゆらぎ である。圧力のゆらぎは $p = \overline{p} + \delta p$ と分ける。非等方ストレス ${\Sigma_i}_j$ は摂動の一次であるが、これを無次元化した非等方ストレス

$${\Pi^i}_j = \frac{{\Sigma^i}_j}{p}$$ (J.4.122)

で表すのが普通である。これらにより、エネルギー運動量テンソルの摂動部は 次のようになる。

$$\delta {T^0}_0 = - \overline{\rho} \delta$$ (J.4.123)

$$\delta {T^0}_i = (\overline{\rho} + \overline{p})\left(v_i - B_i\right)$$ (J.4.124)

$$\delta {T^i}_0 = - (\overline{\rho} + \overline{p}) v^i$$ (J.4.125)

$$\delta {T^i}_j = \delta p \delta^i_j + \overline{p} {\Pi^i}_j$$ (J.4.126)