エネルギー・運動量テンソル

ある慣性系の中を質量のある粒子が動くとき，粒子と共に動く共動座標 で計った時間をその粒子の固有時という．光速を単位にした，単位固有 時あたりの粒子の座標の変化量 $u^\mu = c^{-1}dx^\mu/d\tau$ を4元速 度といい， $\eta_{\mu\nu} u^\mu u^\nu = -1$ を満たす．つまり4元速度は 粒子の世界線に沿った単位接ベクトルである．また，粒子の３次元速度ベクト ルを $v^i = dx^i/dt$ とすると，一般の慣性系から見た４元速度の成分は

$$(u^\mu) = \left( \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}},\frac{v^i/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \right)$$ (B.1.21)

である．粒子の共動座標系では $(u^\mu) = (1,0,0,0)$ となる．粒子の静止質 量を$m$ とすると，４元運動量は $P^\mu = m c u^\mu$ で定義される．

物質の状態がエネルギーや運動量，圧力などが場所のなめらかな関数，すなわ ち流体で表せるとする．このとき，時空のある一点におけるエネルギー密度を $T^{00}$ とする．また，空間座標成分$x^i$ が一定の面を単位時間，単位面積 あたりに横切るエネルギーを$cT^{0i}$ とする．運動量の$i$ 成分の密度を $T^{i0}/c$ とする．さらに，空間的なストレステンソルを$T^{ij}$ とする．こ のとき， $T^{\mu\nu}$ は対称２階テンソルとなることが示される．すなわち， エネルギー流の密度は運動量密度の$c^2$ 倍に等しい．これをエネルギー・ 運動量テンソルと呼ぶ．外力が物質に働いていないとき，エネルギー保存則， および運動量保存則はまとめて

$$\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0$$ (B.1.22)

と表される．外力 ${\mbox{\boldmath $f$}}$ が働いていれば，４元力

$$(f^\mu) = \left( \frac{{\mbox{\boldmath$f$}}\cdot{\mbox{\boldmath$v$}}/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}, \frac{f^i}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \right)$$ (B.1.23)

がこれに付け加わり，

$$\partial_\mu T^{\mu\nu} = f^\nu$$ (B.1.24)

となる．

この流体の微小体積を考え，そこに局所的な共動座標系をとる．この座標系で は局所的にエネルギーの流れあるいは運動量は消えるので， $T^{0i} = 0$ とな る．また，この局所共動座標で $T^{00} = \rho$ は流体のエネルギー密度を表 している．このような局所共動座標において等方的な流体を完全流体と いう．等方性はストレステンソルが $T^{ij} = p \delta_{ij}$ の形で与えられ ることを要求し，$p$ は圧力に対応する．完全流体においては熱伝導や粘性が ない．従って，完全流体のエネルギー・運動量テンソルの局所共動座標系の成 分は対角行列

$$(T^{\mu\nu}) = \left( \begin{array}{cccc}\rho &&& 0 &p&& &&p& 0&&&p\end{array} \right)$$ (B.1.25)

で与えられる．したがってこれを一般の慣性系で表すと，この流体の微小体積 の４元速度$u^\mu$ を用いて，

$$T^{\mu\nu} = (\rho + p) u^\mu u^\nu + p \eta^{\mu\nu}$$ (B.1.26)

$$= \rho u^\mu u^\nu + p P^{\mu\nu}$$ (B.1.27)

となる．ここで、

$$P^{\mu\nu} = \eta^{\mu\nu} + u^\mu u^\nu$$ (B.1.28)

は$u^\mu$ の垂直方向への射影テンソルである．

一般の粘性流体においては空間成分に非等方ストレス $\Sigma^{ij}$ が付け加 わり，式(B.1.25)は

$$(T^{\mu\nu}) = \left( \begin{array}{cccc} \rho & 0 & 0 & 0 0 &p... ...igma^{23} 0 & \Sigma^{31} & \Sigma^{32} & p + \Sigma^{33} \end{array} \right)$$ (B.1.29)

となる．ここで，非等方ストレスはトレースレス ${\Sigma^i}_i = 0$ である． トレース部分は圧力の等方成分ですでに表されている．これも同様に一般の座 標で書き表すと，

$$T^{\mu\nu} = (\rho + p) u^\mu u^\nu + p \eta^{\mu\nu} + \Sigma^{\mu\nu}$$ (B.1.30)

$$= \rho u^\mu u^\nu + p P^{\mu\nu} + \Sigma^{\mu\nu}$$ (B.1.31)

となる．ここで，非等方ストレステンソル $\Sigma^{\mu\nu}$ はトレースなし で4元速度に垂直成分のみを持つ対称テンソルである：

$${\Sigma^\mu}_\mu = 0, \quad \Sigma^{\mu\nu} u_\nu = 0,\quad \Sigma^{\mu\nu} = \Sigma^{\nu\mu}$$ (B.1.32)