テンソルの対称化と反対称化

高階テンソルは、添字の交換に対して対称性を持つようなテンソルが有用な場 合がよくある。例えば、2階テンソル $C^{\mu\nu}$ に対して添字の交換をして も同じ値をもつテンソル、および符号のみが反転するテンソルを次のように作 ることができる：

$$C^{(\mu\nu)} = \frac12\left(C^{\mu\nu} + C^{\nu\mu}\right), \qquad C^{[\mu\nu]} = \frac12\left(C^{\mu\nu} - C^{\nu\mu}\right)$$ (B.1.16)

テンソルの和や差も依然テンソルであるから、これらの量はテンソルである。 このような操作をテンソルの対称化、反対称化という。3階テンソルの対称化、 反対称化は次のようになる：

$$C^{(\mu\nu\rho)} = \frac{1}{3!} \left( C^{\mu\nu\rho} + C^{\nu\rho\mu} + C^{\rho\mu\nu} + C^{\nu\mu\rho} + C^{\mu\rho\nu} + C^{\rho\nu\mu} \right)$$ (B.1.17)

$$C^{[\mu\nu\rho]} = \frac{1}{3!} \left( C^{\mu\nu\rho} + C^{\nu\rho\mu} + C^{\rho\mu\nu} - C^{\nu\mu\rho} - C^{\mu\rho\nu} - C^{\rho\nu\mu} \right)$$ (B.1.18)

さらに一般の$n$ 階テンソルについては

$$C^{(\mu_1\cdots\mu_n)} = \frac{1}{n!} \sum_{\rm perm.} C^{\mu_{i_1}\cdots\mu_{i_n}}$$ (B.1.19)

$$C^{[\mu_1\cdots\mu_n]} = \frac{1}{n!} \sum_{\rm perm.} (-)^P C^{\mu_{i_1}\cdots\mu_{i_n}}$$ (B.1.20)

と表わされる。ここで和はすべての添字の置換 $k \rightarrow i_k$ ( $k = 1,\ldots n$ )について取り、$(-)^P$ は偶置換のとき$+$ , 奇置換のとき$-$ を 表わす。