スカラー、４元ベクトル，テンソル

ローレンツ変換に対して値を変えない量をスカラー(scalar)と呼ぶ。ま た、４元ベクトル$A^\mu$ は４つの成分を持ち，ローレンツ変換のもと で$x^\mu$ のように変換するものとして定義される：

$${A'}^\alpha = \frac{\partial {x'}^\alpha}{\partial x^\mu} A^\mu$$ (B.1.10)

２つの４元ベクトル$A^\mu$ , $B^\mu$ の内積を $\eta_{\mu\nu} A^\mu B^\nu$ で定義すれば，この量はあらゆる慣性系で同じ値をとる，すなわち，ロー レンツ不変である．このような量をスカラーという．

任意の４元ベクトル$A^\mu$ に対して，下つき添字のベクトル $A_\mu = \eta_{\mu\nu} A^\nu$ を定義する．すると内積は $A_\mu B^\mu$ などと表すこ とができる．下つき添字のベクトルは次のように変換する：

$${A'}_\alpha = \frac{\partial x^\mu}{\partial {x'}^\alpha} A_\mu$$ (B.1.11)

下つき添字のベクトルは共変ベクトルとも呼ばれる．これに対して上つ き添字のベクトルは反変ベクトルと呼ぶ．

２つのベクトルの積 $A^\mu B^\nu$ と同じ変換をするものを２階テンソル という．すなわち，２階テンソル $C^{\mu\nu}$ は

$${C'}^{\alpha\beta} = \frac{\partial {x'}^\alpha}{\partial x^\mu} \frac{\partial {x'}^\beta}{\partial x^\nu} C^{\mu\nu}$$ (B.1.12)

である．片方，あるいは両方の添字は ${C^\mu}_\nu = \eta_{\nu\lambda} C^{\mu\lambda}$ , $C_{\mu\nu} = \eta_{\mu\lambda} \eta_{\nu\sigma} C^{\lambda\sigma}$ などのように下げることができ，その変換則は

$${{C'}^\alpha}_\beta = \frac{\partial {x'}^\alpha}{\partial x^\mu} \frac{\partial x^\nu}{\partial {x'}^\beta} {C^\mu}_\nu$$ (B.1.13)

$${C'}_{\alpha\beta} = \frac{\partial x^\mu}{\partial {x'}^\alpha} \frac{\partial x^\nu}{\partial {x'}^\beta} C_{\mu\nu}$$ (B.1.14)

などとなる．３階テンソルや，高階のテンソルも同様に定義できる．また，ス カラーとベクトルはそれぞれ０階および１階のテンソルと考えられる．

さて，$n$ 階のテンソルにおいて上下２つの添字の対をとって和をとると，残 りの添字について$(n-2)$ 階のテンソルとなる．例えば $C^{\mu\lambda}_{\lambda\nu}$ は２階のテンソルとなる．これをテンソルの 縮約という．

微分 $\partial_\mu \equiv \partial/\partial x^\mu$ は下つき添字の４元ベ クトルである．したがって，$n$ 階テンソルに作用すれば$(n+1)$ 階テンソルを つくる．

計量 $\eta_{\mu\nu}$ は下つきの２階テンソルである．この計量テンソルはク ロネッカーデルタ

$$\delta^\mu_\nu = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \qquad (\mu = \nu) 0 & \qquad (\mu \neq \nu) \end{array} \right.$$ (B.1.15)

を用いれば，任意の慣性系において ${\eta^\mu}_\nu = {\eta_\nu}^\mu = \delta^\mu_\nu$ となる．また， $\eta^{\mu\nu}$ は $\eta_{\mu\nu}$ と全く同 じ成分を持っている．