ローレンツ変換

任意の慣性系においては時間座標$t$ および３次元空間のデカルト座標 $(x,y,z)$ を張ることができるが，これをまとめて $(x^0,x^1,x^2,x^3) = (ct,x,y,z)$ と対応させ，この座標を一般的に$x^\mu$ で表す．ここで，$c$ は 光速である．また， $\mu = 0,1,2,3$ である．今後，断らない限り一般的にギ リシャ文字 $\mu,\nu,\ldots$ などの添字は$0,1,2,3$ をとるものとする．また， ラテン文字 $i,j,\ldots$ は空間成分$1,2,3$ のみをとるものとする．例えば $x^i$ はこの慣性系の空間座標を表す．このとき，座標の値が $\Delta x^\mu$ だけ離れた２点の時空間隔$\Delta s$ を

$$(\Delta s)^2 = - c^2 (\Delta t)^2 + (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 +(\Delta z)^2 = \eta_{\mu\nu} \Delta x^\mu \Delta x^\nu$$ (B.1.1)

で定義する．ここで $\eta_{\mu\nu}$ はミンコフスキー空間の計量テンソ ルであり，その成分は対角行列

$$\left(\eta_{\mu\nu}\right) = \left( \begin{array}{cccc}-1&&0 &+1&& &&+1& 0&&&+1\end{array} \right)$$ (B.1.2)

である．また，上下に対になって現れる添字については和をとるという 和の規約を用いる．

光速度が観測者の運動状態にかかわらず一定であることが特殊相対論の出発点 であるが，これは時空間隔(B.1.1)がある慣性系$x^\mu$ から別の慣性系 ${x'}^\mu$ へ移っても不変であることを要求する．すると，この２つの座標成 分同士の関係は線形でなければならないので，原点を共通にとって

$${x'}^\alpha = \frac{\partial {x'}^\alpha}{\partial x^\mu} x^\mu \equiv {{\mit\Lambda}^{\alpha}}_\mu x^\mu$$ (B.1.3)

と書けば，その変換係数 ${{\mit\Lambda}^{\alpha}}_\mu x^\mu$ は

$$\eta_{\mu\nu} = {{\mit\Lambda}^{\alpha}}_\mu {{\mit\Lambda}^{\beta}}_\mu \eta_{\alpha\beta}$$ (B.1.4)

を満たす．このとき式(B.1.3)をローレンツ変換と呼ぶ．

時間反転やパリティ変換のように時空の符号を換えるようなものを除けば，ロー レンツ変換は空間座標の回転とブーストで表される．ブーストとはある座標系 から相対的に一定の速度を持つ別の座標系への変換である．例えば，$x$ 軸方 向への速度$v$ のブーストはよく知られた次の形となる．

$$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle t' = \gamma \left( t - \frac{v}{c^2}x\right) x' = \gamma (x - vt) y' = y z' = z \end{array} \right.$$ (B.1.5)

ただし，

$$\gamma = \frac{1}{\displaystyle \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$ (B.1.6)

はローレンツ因子である．任意の方向 ${\mbox{\boldmath $n$}}$ (ただし ${\mbox{\boldmath $n$}}$ は単 位ベクトルで ${\mbox{\boldmath $n$}}\cdot{\mbox{\boldmath $n$}}=1$ を満たす)への速度$v$ のブーストは

$$\left({{\mit\Lambda}^{\alpha}}_\mu\right) = \left( \begin{array}{... ... n^j/c -v\gamma n^i/c & (\gamma-1) n^i n^j + \delta^{ij} \end{array} \right)$$ (B.1.7)

と表される．

無限小ローレンツ変換は６個の成分を持つ$4\times 4$ 反対称行列

$$\epsilon^{\alpha\beta} = -\epsilon^{\beta\alpha}$$ (B.1.8)

を用いて、

$${{\mit\Lambda}^{\alpha}}_\mu = \frac{\partial {x'}^\alpha}{\partial x^\mu} = \delta^\alpha_\mu + \epsilon^{\alpha\beta} \eta_{\beta\mu}$$ (B.1.9)

と表すことができる。