カンパニエーツ方程式

電子-光子散乱は時間反転不変な相互作用である．ここで$f$ , $g$ をそれぞれ 光子と電子の分布関数とし，それぞれ偏極とスピンの自由度にかかわらずに同 じ分布をするものと仮定する．このとき，光子に対する衝突項の形は

$$C\left[f({\mbox{\boldmath$P$}}_\gamma)\right] = \frac{1}{2c} \int... ...{(2\pi\hbar)^3 2E_{\rm e}'} \int \frac{d^3 P_\gamma'}{(2\pi\hbar)^3 2E_\gamma'}$$

$$\qquad\qquad\qquad\qquad \times (2\pi\hbar)^4 \delta^4(P_\gamma + P_{\rm e} - P_\gamma' - P_{\rm e}') \left\vert{\cal M}\right\vert^2$$

$$\qquad\qquad\qquad\qquad \times \Bigl\{ f({\mbox{\boldmath$P$}}_\... ...oldmath$P$}}_{\rm e}) \left[1 + f({\mbox{\boldmath$P$}}_\gamma')\right] \Bigr\}$$ (I.3.80)

となる．ここで分配関数のあらわな時間依存性はは省略して書いてある．電子 の密度は希薄で古典統計が成り立つものとし， $1 - g \simeq 1$ とした．また ${\cal M}$ はトムソン散乱の不変散乱振幅である．その形はコンプトン散乱 の式(8.7.479)で古典極限をとれば得られる．ここで，電子のスピン、 光子の偏極にかかわらず同じ分布関数の形となっているので，積分されている 粒子のスピン自由度と偏極自由度については和をとり，注目する粒子について は平均をとる．すると式(8.7.484)も用いることにより，

$$\vert{\cal M}\vert^2 = 4 \hbar^2 c^2 e^4 (1 + \cos^2\theta) = 64\... ...= 24 \pi \hbar^2 c^6 {m_{\rm e}}^2 \sigma_{\rm T} \left(1 + \cos^2\theta\right)$$ (I.3.81)

となる．ここで$m_{\rm e}$ は電子の質量、また

$$\sigma_{\rm T} = \frac{8\pi}{3} \frac{\hbar^2 \alpha^2}{{m_{\rm e}}^2 c^2}$$ (I.3.82)

はトムソン全断面積である．上の散乱振幅は入射粒子の静止系で導かれたもの であったが，トムソン散乱において光子の散乱角は座標系によらなくなるので， どの座標系においても同じ形になる．電子は非相対論的であるから，各運動量 ４元ベクトルは

$$P_\gamma = (p, {\mbox{\boldmath$p$}}), \qquad P_\gamma' = (p', {\mbox{\boldmath$p$}}'),$$ (I.3.83)

$$P_{\rm e} = \left(m_{\rm e} c + \frac{q^2}{2m_{\rm e}c}, {\mbox{\... ...' = \left(m_{\rm e} c + \frac{q'^2}{2m_{\rm e}c}, {\mbox{\boldmath$q$}}'\right)$$ (I.3.84)

とおける．ただしここで， $p = \vert{\mbox{\boldmath $p$}}\vert$ , $p' = \vert{\mbox{\boldmath $p$}}'\vert$ , $q = \vert{\mbox{\boldmath $q$}}\vert$ , $q' = \vert{\mbox{\boldmath $q$}}'\vert$ は３次元運動量の絶対値である．また，等方 的な分布を考えれば，分布関数は運動量の絶対値のみの関数$f(p)$ , $g(q)$ で ある．

上の非相対論的近似において最低次のみを残すことにより衝突項は

$$C[f(p)] = \frac{3}{8\pi} \frac{\sigma_{\rm T}}{(2\pi\hbar)^3} \in... ... p'}\right)^2\right] \delta\left(p - p' + \frac{q^2 - q'^2}{2m_{\rm e}c}\right)$$

$$\qquad\qquad\qquad\quad \times \delta^3({\mbox{\boldmath$p$}} - {... ...\{ f(p') g(q') \left[1 + f(p)\right] - f(p) g(q) \left[1 + f(p')\right] \Bigr\}$$ (I.3.85)

と書き表される．トムソン散乱では光子のエネルギーは電子の静止エネルギー よりも十分小さい，すなわち $p \ll m_{\rm e}c$ である．また電子は非相対論的であり， 電子の運動エネルギーと光子のエネルギーが同じオーダー， $cp\sim q^2/2m_{\rm e}$ となる．したがって，

$$q \sim \sqrt{2m_{\rm e}cp} \gg p$$ (I.3.86)

となり，光子の典型的な運動量は電子の典型的な運動量に比べて十分小さい． すると衝突の前後での光子の運動量の変化 ${\mbox{\boldmath $p$}}' - {\mbox{\boldmath $p$}}$ が電子の典型 運動量に比べて十分小さく，したがって電子の運動量変化 ${\mbox{\boldmath $q$}}' - {\mbox{\boldmath $q$}}$ もまた$q$ , $q'$ に比べて小さいことになる．そこで，上の衝突項の 積分を， ${\mbox{\boldmath $p$}}' - {\mbox{\boldmath $p$}}$ で展開して評価することを考える．そこで，デ ルタ関数を２次まで展開することにより^I3，

$$\delta^3({\mbox{\boldmath$p$}} - {\mbox{\boldmath$p$}}' + {\mbox{... ..._j - p_j'\right) \delta^3_{,ij}({\mbox{\boldmath$q$}} - {\mbox{\boldmath$q$}}')$$ (I.3.87)

を用いる．ここで，第一項は式(9.3.85)に入れると最初のデルタ関数 と合わせて$p' = p$ , $q' = q$ を導き，最後の因子が消えることになるので， 結局積分には寄与しない．また，第二項以下を評価するのに，光子の運動量の 角度積分に注目する．光子の分布関数は運動量の方向によらないものと仮定し ているので， ${\mbox{\boldmath $p$}}$ の角度平均をとっても衝突項の形は同じである．した がって，積分の中では ${\mbox{\boldmath $p$}}$ , ${\mbox{\boldmath $p$}}'$ の角度依存項はその項の角度平 均に置き換えることができる．光子の角度依存因子は上の展開式の他にトムソ ン散乱から出て来る因子がある．いずれにしても多項式の形で現れるので，そ の角度積分は容易である．そのためには次の積分を用いればよい：

$$\int d{\mit\Omega}_p p_i = 0$$ (I.3.88)

$$\int d{\mit\Omega}_p p_i p_j = \frac{4\pi}{3} p^2 \delta_{ij}$$ (I.3.89)

$$\int d{\mit\Omega}_p p_i p_j p_k = 0$$ (I.3.90)

$$\int d{\mit\Omega}_p p_i p_j p_k p_l = \frac{4\pi}{15} p^4 \lef... ...ta_{ij} \delta_{kl} + \delta_{ik} \delta_{jl} + \delta_{il} \delta_{jk} \right)$$ (I.3.91)

その結果，式(9.3.87)の第二項は必ず奇数個の運動量角度積分となり消え る．また第三項を含む角度積分を上式により計算すると，

$$\int \frac{d{\mit\Omega}_p}{4\pi} \int d{\mit\Omega}_{p'} \left(1... ...ht)\left(p_j - p_j'\right) = \frac{8\pi}{9} \left(p^2 + p'^2\right) \delta_{ij}$$ (I.3.92)

となる．こうして，式(9.3.85)の角度積分が実行でき，

$$C[f(p)] = \frac{1}{3}\frac{\sigma_{\rm T}}{(2\pi\hbar)^3} \int d^... ...p'^3 + p^2 p'\right) \delta\left(p - p' + \frac{q^2 - q'^2}{2m_{\rm e}c}\right)$$

$$\qquad\qquad\qquad \times \left[ \frac{\partial}{\partial {\mbox{... ...\{ f(p') g(q') \left[1 + f(p)\right] - f(p) g(q) \left[1 + f(p')\right] \Bigr\}$$ (I.3.93)

となる．この表式をまず変数 ${\mbox{\boldmath $q$}}$ について部分積分を行う．任 意の関数$F(q)$ について，

$$\frac{\partial}{\partial {\mbox{\boldmath$q$}}} \cdot \frac{\part... ... = \frac{1}{q^2}\frac{d}{dq}\left(q^2 F'(q)\right) = F''(q) + \frac{2}{q} F'(q)$$ (I.3.94)

となることを用いて微分を実行し，その後 ${\mbox{\boldmath $q$}}'$ について積分すると

$$C[f(p)] = \frac{1}{3} \frac{\sigma_{\rm T}}{(2\pi\hbar)^3} \int d^3q dp' \left(p'^3 + p^2 p'\right)$$

$$\qquad\qquad \times \biggl\{ \left[ \frac{q^2}{{m_{\rm e}}^2 c^... ...p') + \frac{1}{m_{\rm e}c} \delta'(p-p') \right] \left[f(p') - f(p)\right] g(q)$$

$$\qquad\qquad\qquad - \frac{2q}{m_{\rm e}c} \delta'(p-p') f(p)\left[1+f(p')\right] g'(q) - \delta(p-p') f(p)\left[1+f(p')\right] g''(q) \biggr\}$$ (I.3.95)

となる．さらに$p'$ 積分を部分積分を用いて実行すると，

$$C[f(p)] = \frac{\sigma_{\rm T}}{3} \int \frac{d^3q}{(2\pi\hbar)^3... ...g(q) \left[p^3 f''(p) + 4 p^2 f(p)\right] + \frac{6}{m_{\rm e}c} g(q) p^3 f'(p)$$

$$\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad - \frac{8}{m_{\rm e}c} q g'(q) p^2 f(p) \left[1 + f(p)\right] - \frac{4}{m_{\rm e}c} q g'(q) p^3 f(p) f'(p)$$

$$\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad - 2p^3 f(p)\left[1 + f(p)\right]\left[g''(q) + \frac{2}{q} g'(q)\right] \biggr\}$$ (I.3.96)

となる．ここで，積分の中の最後の項は動径方向の表面積分となり消える．他 の$q$ 積分の一部は電子の数密度

$$n_{\rm e} = 2\int\frac{d^3q}{(2\pi\hbar)^3} g(q)$$ (I.3.97)

により表される．ここで，前の因子$2$ はスピン自由度である．さらにこの積 分の部分積分から，

$$\int\frac{d^3q}{(2\pi\hbar)^3} q g'(q) = - \frac{3}{2} n_{\rm e}$$ (I.3.98)

が得られる．また非平衡状態の電子の温度$T_{\rm e}$ として自然な定義は

$$2\int\frac{d^3q}{(2\pi\hbar)^3} \frac{q^2}{2m_{\rm e}} g(q) = \frac{3}{2} n_{\rm e} k_{\rm B} T_{\rm e}$$ (I.3.99)

である．ただし，電子の系全体としては重心は運動していないと仮定する．こ れらの積分を用いて式(9.3.96)を変形すると簡潔な形

$$C[f(p)] = \frac{n_{\rm e} \sigma_{\rm T}}{m_{\rm e}c} \frac{1}{p}... ...k_{\rm B} T_{\rm e}}{c} \frac{\partial f}{\partial p} + f(1+f) \right] \right\}$$ (I.3.100)

となる．したがって，一様等方宇宙のボルツマン方程式(9.2.76)は

$$\frac{\partial f}{\partial t} - H p \frac{\partial f}{\partial p}... ...k_{\rm B} T_{\rm e}}{c} \frac{\partial f}{\partial p} + f(1+f) \right] \right\}$$ (I.3.101)

となる．これは電子の分布関数が与えられたとき，光子の分布関数を決める方 程式であり、重要な式である．

式(9.3.101)を$d^3p$ 積分すると、衝突項は部分積分により表面項となっ て消える．左辺も部分積分することにより，

$$\frac{\partial n_\gamma}{\partial t} + 3H n_\gamma = 0$$ (I.3.102)

となる．ここで，$n_\gamma$ は光子の数密度で，

$$n_\gamma(t) = 2 \int \frac{d^3p}{(2\pi\hbar)^3} f(p,t)$$ (I.3.103)

である．式(9.3.102)は共動体積あたりの光子の数 $a^3 n_\gamma$ が 一定となることを表すが，これは当然ながら電子-光子散乱における最低次の 近似では光子の数が保たれているからである．

宇宙膨張の効果が無視できるスケールを考えるときには式(9.3.101)左 辺第２項は必要ない．その場合，次のような変数のスケール

$$x = \frac{cp}{k_{\rm B} T_{\rm e}}, \qquad dy = \frac{k_{\rm B} T_{\rm e} \sigma_{\rm T} n_{\rm e}}{m_{\rm e}c} dt$$ (I.3.104)

をすることにより，より簡単な式

$$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{x^2} \frac{\partial}{\partial x} \left[ x^4 \left(\frac{\partial f}{\partial x} + f(1+f)\right) \right]$$ (I.3.105)

となる．この式をカンパニエーツ方程式 (Kompaneets equation)という ^I4．ここ で導入した変数$y$ は

$$y = \int^t \frac{k_{\rm B} T_{\rm e}}{m_{\rm e}c^2} n_{\rm e} \sigma_{\rm T} cdt$$ (I.3.106)

と書くことができ，区間$cdt$ の光学的厚さに電子の運動エネルギーと静止エ ネルギーの比をかけて積分したものである．この比は平均的な光子のドップラー 偏移を表す[式(8.7.482)参照]．したがってこのパラメータ$y$ は考え ている積分区間における光子の平均的な振動数の変化を表すものと解釈できる． この量$y$ をコンプトン化パラメータ (Comptonization parameter)と呼 ぶ．

Footnotes

... ルタ関数を２次まで展開することにより^I3

デルタ関数の展開そのもの には数学的な意味はないが，必ず部分積分をすることを了解しておけば積分後 の式を展開することに等価である．

... equation)という^I4

A.S. Kompaneets, Soviet Physics, JETP, 4, 730 (1957)