電子・電子散乱

次に２つの電子が衝突して再び２つの電子となって散乱されるプロセス，すな わち電子・電子散乱を考える．この散乱はメラー散乱 (Møller scattering)と呼ばれる．相互作用ラグランジアン密度は同じで，式 (8.7.364)で与えられ，散乱断面積は式(8.6.354)で$n=2$ とし たもの，また重心系では式(8.6.358)で与えられる．始状態 $\left\vert \alpha \right\rangle$ と終状態 $\left\vert \beta \right\rangle$ は

$$\left\vert \alpha \right\rangle = c_{s_1}^\dagger({\mbox{\boldmat... ...0 \right\vert c_{s_3}({\mbox{\boldmath$k$}}_3) c_{s_4}({\mbox{\boldmath$k$}}_2)$$ (H.7.398)

で与えられる．このとき，S行列要素の計算において，一次の摂動$S^{(1)}$ は 寄与しない．これは$S^{(1)}$ が光子場$A^\mu$ をひとつしか含まないため，そ の中の生成消滅演算子が $\left\vert 0 \right\rangle$ か $\left\langle 0 \right\vert$ にかかって消えてしまうからで ある．したがって，消えることのない摂動の最低次は

$$S^{(2)} = \frac{1}{2!}\left(\frac{i}{\hbar c}\right)^2 \int d^4x d^4y {\rm T}\left[{\cal L}_{\rm I}(x){\cal L}_{\rm I}(y)\right]$$

$$= - \frac{e^2}{2\hbar^4 c^4} \int d^4x d^4y {\rm T}\left[ :\overlin... ...mu \psi(x) A^\mu(x):\ :\overline{\psi}(y) \gamma_\nu \psi(y) A^\nu(y): \right]$$ (H.7.399)

である．ここでT積に対しウィックの定理を適用して展開する．始めからある 正規順序積は縮約しないこと，また生成消滅演算子がペアで表れない縮約が消 えること，すなわち $\underwick{1}{<1\psi(x)>1\psi(y)}=0$ , $\underwick{1}{<1{\overline{\psi}}(x)>1{\overline{\psi}}(y)}=0$ , $\underwick{1}{<1\psi(x)>1A^\mu(y)}=0$ などを考慮して，

$${\rm T}\left[ :\overline{\psi}(x) \gamma_\mu \psi(x) A^\mu(x):\ :\overline{\psi}(y) \gamma_\nu \psi(y) A^\nu(y): \right]$$

$$\qquad = {\rm T}\left[ :\overline{\psi}(x) \gamma_\mu \psi(x):\ ... ...line{\psi}(y) \gamma_\nu \psi(y): \right] {\rm T}\left[A^\mu(x) A^\nu(y)\right]$$

$$\qquad = \left[ :\overline{\psi}(x) \gamma_\mu \psi(x) \overline{... ...{\psi}}(x) \gamma_\mu \psi(x) \overline{\psi}(y) \gamma_\nu >1\psi(y)}: \right.$$

$$\qquad\qquad \left. + :\underwick{1}{\overline{\psi}(x) \gamma_\m... ...}(x) \gamma_\mu <2\psi(x) >2{\overline{\psi}}(y) \gamma_\nu >1\psi(y)}: \right]$$

$$\qquad \quad \times \left[ :A^\mu(x) A^\nu(y): + :\underwick{1}{<1A^\mu(x) >1A^\nu(y)}: \right]$$ (H.7.400)

となる．ここで場の演算子を平面波展開して生成消滅演算子によって表し，式 (8.7.398)の始状態と終状態ではさめばS行列要素が計算される．

具体的な計算の前にまず，このようにS行列演算子をウィックの定理によって 展開したものからS行列要素を求めるための一般的な方針を説明しておく．ウィッ クの定理により，S行列演算子は場の演算子の正規順序積の和で表現されてい るので，消滅演算子がすべて右側に来ている．そこでS行列要素の計算におい て，これらの消滅演算子を(反)交換関係を用いて始状態 $\left\vert \alpha \right\rangle$ に含ま れている生成演算子と交換し，どんどん右側へと移動させる．そして一番右に その消滅演算子が来て $\left\vert 0 \right\rangle$ にかかって消えるまで続ける．このプロセス において移動される消滅演算子は始状態の生成演算子のどれかひとつとペアを つくって定数項を出し，それらがおつりの項として消えずに残ることになる． ここでもし，始状態の生成演算子とペアをつくるのに十分な数の消滅演算子が なければ，始状態の生成演算子のどれかはそのまま残されるが，それはS行列 演算子の中の生成演算子と反交換して終状態の消滅演算子のすぐ右側に到達す る．ここで始状態にある粒子と同じ状態の粒子が終状態にあるとすると，それ は散乱されなかったことを意味するから，散乱が起こったときの断面積を考え る限り始状態の生成演算子は終状態の消滅演算子と反交換する．したがってS 行列を通り越してしまった始状態の生成演算子は $\left\langle 0 \right\vert$ にかかって消えて しまう．したがって，S行列演算子の右側に出てくる消滅演算子は必ず始状態 の粒子と同じ数だけなければならない(そうでなければ少なくともひとつの粒 子は散乱されない)ということになる．以上と同じことがS行列演算子の左側に ある生成演算子についてもいえる．したがって，S行列演算子のウィックの定 理による展開においては，そこから出る生成消滅演算子がかならず始状態およ び終状態の粒子とペアを作らなければならないことがわかる．

以上の考察のもと，具体的な式(8.7.400)を見てみると，散乱の起こる S行列要素において残る項は電子の生成消滅演算子をそれぞれ２つずつ含む項 であるから，$\psi$ , $\overline{\psi}$ に関する縮約を全く含まない項と， $A^\mu$ の縮約された項のみである．しかも，陽電子に関する項はすべて落ち るから，$\psi$ の正振動部分， $\overline{\psi}$ の負振動部分のみが生き残 る．したがって，

$$\left\langle \beta \left\vert S^{(2)} \right\vert \alpha \right\r... ...psi(y): \right\vert \alpha \right\rangle :\underwick{1}{<1A^\mu(x) >1A^\nu(y)}:$$

$$\qquad = -\frac{e^2}{\hbar^4 c^4} \int d^4x d^4y \int \frac{d^3k_... ...pi)^3 2 {k_4'}^0} \sum_{s_1',\ldots,s_4'} e^{i(k_1' - k_3')x + i(k_2' - k_4')y}$$

$$\qquad\qquad \times \left\langle 0 \left\vert c_{s_3}({\mbox{\bol... ...th$k$}}_1) c_{s_2}^\dagger({\mbox{\boldmath$k$}}_2) \right\vert 0 \right\rangle$$

$$\qquad\qquad \times i\hbar c D_{\rm F}^{\mu\nu}(x-y)\ \overline{... ...}_{s_4'}({\mbox{\boldmath$k$}}_4')\gamma_\nu u_{s_2'}({\mbox{\boldmath$k$}}_2')$$ (H.7.401)

となる．ここで，$x, y$ の積分は$z = x-y$ として積分することにより光子の 伝播関数のフーリエ変換(8.6.339)を用いて，

$$\int d^4x d^4y e^{i(k_1' - k_3')x + i(k_2' - k_4')y} D_{\rm F}^{\... ... d^4z e^{i(k_1' + k_2' - k_3' - k_4')x + i(k_4' - k_2')z} D_{\rm F}^{\mu\nu}(z)$$

$$\qquad = -(2\pi)^4 \delta^4(k_1' + k_2' - k_3' - k_4') \frac{\eta^{\mu\nu}}{(k_4' - k_2')^2 - i\epsilon}$$ (H.7.402)

となる．さらに真空期待値の部分は上に説明したように中の生成消滅演算子を 次々と左右に移動させていくことにより，

$$\left\langle 0 \left\vert c_{s_3}({\mbox{\boldmath$k$}}_3) c_{s_4... ...th$k$}}_1) c_{s_2}^\dagger({\mbox{\boldmath$k$}}_2) \right\vert 0 \right\rangle$$

$$\qquad = (\hbar c)^4 (2{k_1}^0)(2{k_2}^0)(2{k_3}^0)(2{k_4}^0) (2\pi)^{12}$$

$$\qquad\qquad \times \left[ -\delta_{s_3 s_3'} \delta_{s_4 s_4'} \... ...th$k$}}_4')\delta^3({\mbox{\boldmath$k$}}_4 - {\mbox{\boldmath$k$}}_3') \right]$$

$$\qquad\qquad \times \left[ -\delta_{s_1 s_1'} \delta_{s_2 s_2'} \... ...th$k$}}_2')\delta^3({\mbox{\boldmath$k$}}_2 - {\mbox{\boldmath$k$}}_1') \right]$$ (H.7.403)

となる．こうして式(8.7.401)が計算できて，不変散乱振幅 (8.6.351)で書けば，

$${\cal M}_{\beta\alpha} = \hbar c e^2 \left[ \frac{\eta^{\mu\nu}}{... ...4}({\mbox{\boldmath$k$}}_4) \gamma_\nu u_{s_2}({\mbox{\boldmath$k$}}_2) \right.$$

$$\qquad\qquad\qquad\quad \left. - \frac{\eta^{\mu\nu}}{(k_1 - k_... ...3}({\mbox{\boldmath$k$}}_3) \gamma_\nu u_{s_2}({\mbox{\boldmath$k$}}_2) \right]$$ (H.7.404)

となる．

ここで，断面積の計算のためには不変振幅の絶対値の２乗を計算する必要があ る．ここで一般に任意の$4\times 4$ 行列 ${\mit\Gamma}$ があるとき， $\overline{u}=u^\dagger \gamma_0$ , $\gamma_0^\dagger = \gamma_0$ , ${\gamma_0}^2 = 1$ を用いると

$$\left[\overline{u}_s({\mbox{\boldmath$k$}}) {\mit\Gamma}u_{s'}({\... ...'}({\mbox{\boldmath$k$}}') \overline{{\mit\Gamma}} u_{s}({\mbox{\boldmath$k$}})$$ (H.7.405)

となる．ただしここで，

$$\overline{{\mit\Gamma}} = \gamma_0 {\mit\Gamma}^\dagger \gamma_0$$ (H.7.406)

である．とくに ${\mit\Gamma}$ として$\gamma$ 行列である場合，式 (8.4.132)-(8.4.134)と ${\gamma_0}^2 = 1$ を使って，

$$\overline{\gamma}_\mu = \gamma_0 \gamma_\mu^\dagger \gamma_0 = \gamma_\mu$$ (H.7.407)

$$\overline{i\gamma_5} = \gamma_0 (i\gamma_5)^\dagger \gamma_0 = i\gamma_5$$ (H.7.408)

$$\overline{\gamma_5\gamma_\mu} = \gamma_5 \gamma_\mu$$ (H.7.409)

となることが確かめられる．これらの関係を使って，不変振幅 (8.7.404)の絶対値２乗を計算していく．ここからは分母の$\epsilon$ はここでゼロの極限をとってしまってもよく，以後は無視する．

まず，括弧内の第一項について絶対値２乗を計算する．散乱において偏極を考 えないものとして，スピンについて和をとると，式(8.4.167)により，

$$\sum_{s_1,s_2,s_3,s_4} \left\vert \overline{u}_{s_3}({\mbox{\bold... ...box{\boldmath$k$}}_4) \gamma^\mu u_{s_2}({\mbox{\boldmath$k$}}_2) \right\vert^2$$

$$\qquad = \sum_{s_1,s_2,s_3,s_4} \left[ \overline{u}_{s_3}({\mbox{... ...2}({\mbox{\boldmath$k$}}_2) \gamma^\nu u_{s_4}({\mbox{\boldmath$k$}}_4) \right]$$

$$\qquad = {\rm Tr}\left[ \gamma_\mu (\ooalign{\hfil/\hfil\crcr$k$}... ...il\crcr$k$}_2 + \mu) \gamma^\nu (\ooalign{\hfil/\hfil\crcr$k$}_4 + \mu) \right]$$ (H.7.410)

となる．ここで $\overline{\gamma}_\mu = \gamma_\mu$ を用いている．第二項 の絶対値２乗は上の式において $(3\leftrightarrow 4)$ と入れ換えたもので与 えられる．他に第一項と第二項がクロスする項があるが，そのうち片方は以下 のようになる：

$$\sum_{s_1, s_2, s_3, s_4} \overline{u}_{s_3}({\mbox{\boldmath$k$}... ...({\mbox{\boldmath$k$}}_3) \gamma^\nu u_{s_2}({\mbox{\boldmath$k$}}_2) \right]^*$$

$$\qquad = \sum_{s_1, s_2, s_3, s_4} \overline{u}_{s_3}({\mbox{\bol... ...{\mbox{\boldmath$k$}}_1) \overline{\gamma}_\nu u_{s_4}({\mbox{\boldmath$k$}}_4)$$

$$\qquad = \sum_{s_1, s_2, s_3, s_4} \overline{u}_{s_3}({\mbox{\bol... ...e{u}_{s_2}({\mbox{\boldmath$k$}}_2) \gamma^\nu u_{s_3}({\mbox{\boldmath$k$}}_3)$$

$$\qquad = {\rm Tr}\left[ \gamma_\mu (\ooalign{\hfil/\hfil\crcr$k$}... ...il\crcr$k$}_2 + \mu) \gamma^\nu (\ooalign{\hfil/\hfil\crcr$k$}_3 + \mu) \right]$$ (H.7.411)

もう片方のクロス項は上式で $(3\leftrightarrow 4)$ の置き換えをしたもの で与えられる．

これらの式から，スピン和をとった不変散乱振幅の絶対値２乗を書き下せば

$$\sum_{s_1,s_2,s_3,s_4} \left\vert{\cal M}_{\beta\alpha}\right\vert^2 =$$

$$\qquad = \hbar^2 c^2 e^4 \left\{ \frac{1}{(k_1 - k_3)^4} {\rm Tr}... ...k$}_2 + \mu) \gamma^\nu (\ooalign{\hfil/\hfil\crcr$k$}_4 + \mu) \right] \right.$$

$$\qquad\qquad\quad \left. - \frac{1}{(k_1 - k_3)^2 (k_1 - k_4)^2... ...$}_2 + \mu) \gamma^\nu (\ooalign{\hfil/\hfil\crcr$k$}_3 + \mu) \right] \right\}$$

$$\qquad\quad + (3 \leftrightarrow 4)$$ (H.7.412)

となる．

こうして、$\gamma$ 行列のトレースの計算ができれば散乱断面積が求められる ことになる．この目的のため，ここで有用なトレース計算の技術をまとめてお く．まず，式(8.4.132)-(8.4.134)と ${\gamma_0}^2 = 1$ を くり返し使って証明できる公式

$${\rm Tr}\left[\gamma_\mu \gamma_\nu\right] = -4\eta_{\mu\nu},$$ (H.7.413)

$${\rm Tr}\left[(\mbox{奇数個の$\gamma$行列の積})\right] = 0,$$ (H.7.414)

$${\rm Tr}\left[ \gamma_\mu \gamma_\nu \gamma_\lambda \gamma_\rho \... ... + \eta_{\mu\rho} \eta_{\nu\lambda} - \eta_{\mu\lambda} \eta_{\nu\rho} \right),$$ (H.7.415)

$${\rm Tr}\left[\gamma_5\right] = 0,$$ (H.7.416)

$${\rm Tr}\left[\gamma_\mu \gamma_\nu \gamma_5\right] = 0,$$ (H.7.417)

$${\rm Tr}\left[\gamma_\mu \gamma_\nu \gamma_\lambda \gamma_\rho \gamma_5\right] = -4i \epsilon_{\mu\nu\lambda\rho}$$ (H.7.418)

である．ここで， $\epsilon_{\mu\nu\lambda\rho}=-\epsilon^{\mu\nu\lambda\rho}$ は

$$\epsilon^{0123} = +1$$ (H.7.419)

で符合を定めた完全反対称テンソルである．完全反対称テンソルについては次 の双対則

$$\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta} = -24$$ (H.7.420)

$$\epsilon^{\alpha\beta\gamma\mu}\epsilon_{\alpha\beta\gamma\nu} = -6 {\delta^\mu}_\nu$$ (H.7.421)

$$\epsilon^{\alpha\beta\mu\nu}\epsilon_{\alpha\beta\lambda\rho} = -... ...\mu}_\lambda {\delta^\nu}_\rho - {\delta^\mu}_\rho {\delta^\nu}_\lambda \right)$$ (H.7.422)

が成り立つ．これら双対則は係数を除けば対称性から明らかで，係数はテンソ ルの足について特別な場合を考えれば決められる．また，$\gamma$ 行列の順序 をトレースの中で逆転してももとの式に等しい，つまり，

$${\rm Tr}\left( \gamma_\mu \gamma_\nu \gamma_\lambda \gamma_\rho \... ... {\rm Tr}\left( \cdots \gamma_\rho \gamma_\lambda \gamma_\nu \gamma_\mu \right)$$ (H.7.423)

である．この公式は式(8.4.136)の荷電共役行列 $C = -i\gamma_0 \gamma_2$ が$C^2 = -1$ , $C \gamma_\mu C = (\gamma_\mu)^{\rm T}$ を満たす ことを用いると証明できる．いま上の式で$\gamma$ 行列の数を$n$ とすると$n$ は偶数でなければ両辺ともにゼロであるから，偶数として証明すれば十分であ る．すると

$${\rm Tr}\left( \gamma_\mu \gamma_\nu \cdots \right) = (-1)^n {\rm... ...u)^{\rm T} \cdots \right) = {\rm Tr}\left( \cdots \gamma_\nu \gamma_\mu \right)$$ (H.7.424)

と示される．

トレースの中で足が縮約している場合に便利なものは，$\gamma$ 行列の反交換 関係(8.4.132)をくり返し使って得られる次の公式である：

$$\gamma_\mu \gamma^\mu = - 4,$$ (H.7.425)

$$\gamma_\mu \gamma_\nu \gamma^\mu = 2 \gamma_\nu,$$ (H.7.426)

$$\gamma_\mu \gamma_\nu \gamma_\lambda \gamma^\mu = 4 \eta_{\nu\lambda},$$ (H.7.427)

$$\gamma_\mu \gamma_\nu \gamma_\lambda \gamma_\rho \gamma^\mu = 2 \gamma_\rho \gamma_\lambda \gamma_\nu$$ (H.7.428)

$$\gamma_\mu \gamma_\nu \gamma_\lambda \gamma_\rho \gamma_\sigma \g... ...ambda \gamma_\rho + \gamma_\rho \gamma_\lambda \gamma_\nu \gamma_\sigma \right)$$ (H.7.429)

また，同様に反交換関係を使って示される便利な関係式として，

$$\ooalign{\hfil/\hfil\crcr$a$}\ooalign{\hfil/\hfil\crcr$a$} = - a\cdot a$$ (H.7.430)

$$\ooalign{\hfil/\hfil\crcr$a$}\ooalign{\hfil/\hfil\crcr$b$} = - \ooalign{\hfil/\hfil\crcr$b$}\ooalign{\hfil/\hfil\crcr$a$} - 2 a\cdot b$$ (H.7.431)

などがある．

これで不変散乱振幅のトレース計算に必要な準備が整った．あとはこれらの公 式を用いて計算していくだけである．トレースの中で足の縮約している $\gamma$ 行列は縮約公式(8.7.425)-(8.7.429)を用いて行列 の数を減らし，あとはトレース公式(8.7.413)-(8.7.418)を 使ってトレースを計算していけばよい．例えば，行列のもっとも多い項として 式(8.7.412)のうち，8個の行列の積の計算は次のようになる：

$${\rm Tr}\left[ \gamma_\mu \ooalign{\hfil/\hfil\crcr$k$}_1 \gamma_... ...align{\hfil/\hfil\crcr$k$}_2 \gamma^\nu \ooalign{\hfil/\hfil\crcr$k$}_3 \right]$$

$$\qquad = 2 {\rm Tr}\left[ \ooalign{\hfil/\hfil\crcr$k$}_4 (\gamma... ...}\left[ \ooalign{\hfil/\hfil\crcr$k$}_4 \ooalign{\hfil/\hfil\crcr$k$}_3 \right]$$

$$\qquad = -32 (k_1\cdot k_2) (k_3\cdot k_4)$$ (H.7.432)

他の項も同様に計算する．ここで，入射，散乱する電子の波数ベクトルは $k^2 + \mu^2 = 0$ を満たし，さらにエネルギー運動量保存から $k_1 + k_2 = k_3 + k_4$ を満たすので， $k_1\cdot k_2 = k_3 \cdot k_4$ , $k_1\cdot k_3 = k_2 \cdot k_4$ , $k_1\cdot k_4 = k_2 \cdot k_3$ がそれぞれ成り立つ．これ らの関係を使ってトレース計算の結果を整理すると，

$${\rm Tr}\left[ \gamma_\mu (\ooalign{\hfil/\hfil\crcr$k$}_1 + \mu)... ...il\crcr$k$}_2 + \mu) \gamma^\nu (\ooalign{\hfil/\hfil\crcr$k$}_4 + \mu) \right]$$

$$\qquad\qquad = 32 \left[ (k_1\cdot k_2)^2 + (k_1\cdot k_4)^2 + 2 \mu^2 k_1\cdot k_3 + 2\mu^4 \right]$$ (H.7.433)

$${\rm Tr}\left[ \gamma_\mu (\ooalign{\hfil/\hfil\crcr$k$}_1 + \mu)... ...il\crcr$k$}_2 + \mu) \gamma^\nu (\ooalign{\hfil/\hfil\crcr$k$}_3 + \mu) \right]$$

$$\qquad\qquad = -32 \left[ (k_1\cdot k_2)^2 + \mu^2 k_1\cdot (k_1 + 2k_2) + \mu^4 \right]$$ (H.7.434)

となる．ここから入射電子のスピンについて平均して散乱電子のスピンについ て和をとった不変散乱振幅は

$$\frac14 \sum_{s_1,s_2,s_3,s_4} \left\vert{\cal M}_{\beta\alpha}\right\vert^2 =$$

$$\qquad = 8\hbar^2 c^2 e^4 \left\{ \frac{(k_1\cdot k_2)^2 + (k_1\cdot k_4)^2 + 2\mu^2 k_1\cdot k_3 + 2\mu^4}{(k_1 - k_3)^4} \right.$$

$$\qquad\qquad\qquad\quad + \frac{(k_1\cdot k_2)^2 + (k_1\cdot k_3)^2 + 2\mu^2 k_1\cdot k_4 + 2\mu^4}{(k_1 - k_4)^4}$$

$$\qquad\qquad\qquad\quad \left. + \frac{2\left[(k_1\cdot k_2)^2 ... ...^2 k_1\cdot (k_1 + 2k_2) + \mu^4\right]} {(k_1 - k_3)^2 (k_1 - k_4)^2} \right\}$$ (H.7.435)

となる．

これを式(8.6.354)の $\vert{\cal M}_{\beta\alpha}\vert^2$ に置き換えれば 散乱断面積を一般的に得るが，いま２体反応なので重心系で記述することによ り，より便利な式を得ることができる．重心系では ${\mbox{\boldmath $k$}}_1 = - {\mbox{\boldmath $k$}}_2 \equiv {\mbox{\boldmath $k$}}$ , ${\mbox{\boldmath $k$}}_3 = -{\mbox{\boldmath $k$}}_4 \equiv {\mbox{\boldmath $k$}}'$ , また， $E_1 = E_2 = E_3 = E_4 \equiv E$ となる．したがって，重心系での２体反応の散 乱断面積の式(8.6.357)は

$$\left.\frac{d\sigma}{d{\mit\Omega}}\right\vert _{\rm CM} = \frac{... ...2} \frac14 \sum_{s_1,s_2,s_3,s_4} \left\vert{\cal M}_{\beta\alpha}\right\vert^2$$ (H.7.436)

となる．また，電子1と電子3の進む方向の間の角度を$\theta$ ，すなわち ${\mbox{\boldmath $k$}}\cdot{\mbox{\boldmath $k$}}' = \vert{\mbox{\boldmath $k$}}\vert^2 \cos\theta$ とすると，

$$k_1\cdot k_1 = -\mu^2, \qquad k_1 \cdot k_2 = -2 \vert{\mbox{\boldmath$k$}}\vert^2 - \mu^2,$$ (H.7.437)

$$k_1 \cdot k_3 = -\vert{\mbox{\boldmath$k$}}\vert^2 (1 - \cos\thet... ...ad k_1 \cdot k_4 = -\vert{\mbox{\boldmath$k$}}\vert^2 (1 + \cos\theta) - \mu^2,$$ (H.7.438)

$$(k_1 - k_3)^2 = 2 \vert{\mbox{\boldmath$k$}}\vert^2 (1 - \cos\theta), \qquad (k_1 - k_4)^2 = 2 \vert{\mbox{\boldmath$k$}}\vert^2 (1 + \cos\theta)$$ (H.7.439)

となるから，これを式(8.7.435)へ入れて多少の三角関数の代数計算を することにより，式(8.7.436)は

$$\left.\frac{d\sigma}{d{\mit\Omega}}\right\vert _{\rm CM} = \frac{... ... \frac{8E^4 - 4E^2 m^2 c^4 - m^4 c^8}{\sin^2\theta} + (E^2 - m^2 c^4)^2 \right]$$ (H.7.440)

という形になる．これが最終的なメラー散乱の微分断面積の表式である．