定曲率空間におけるゆらぎのモード分解

ゆらぎの成長はスケールごとに異なっているので，ゆらぎをスケールごとにモー ド分解すると便利である．平坦な空間では大局的に直交デカルト座標を張れる ので，その場合には基底 $\exp(i{\mbox{\boldmath $k$}}\cdot{\mbox{\boldmath $x$}})$ によって平面波展開を すればよく， $k\equiv\vert{\mbox{\boldmath $k$}}\vert$ によりゆらぎのスケールが特徴づけられる． だが，宇宙の曲率が無視できないスケールを考える場合にはこの分解は使えな い．一般の定曲率空間におけるモード分解にはラプラシアン $\triangle = {}^{(3)}\nabla^i{}^{(3)}\nabla_j$ の固有関数により完全系をなす基底を構 成するとよい．もちろん，平坦な空間の平面波展開はこれを満たしていて波数 $k$ のモードの固有値は$-k^2$ である．一般の場合のモード関数の固有値もゆ らぎのスケールを特徴づけるものであり，その固有値を$-k^2$ で特徴づける．

そこで，モード関数の定義として，スカラー型のゆらぎについて

$$(\triangle + k^2)Q^{\rm (S)} = 0$$ (L.1.1)

ベクトル型のゆらぎについて

$$(\triangle + k^2)Q^{\rm (V)}_i =$$ 0 (L.1.2)

$${Q^{\rm (V)}_i}^{\vert i} =$$ 0 (L.1.3)

テンソル型のゆらぎについて

$$(\triangle + k^2)Q^{\rm (T)}_{ij} =$$ 0 (L.1.4)

$${{Q^{\rm (T)}}_i}^i =$$ 0 (L.1.5)

$${Q^{\rm (T)}_{ij}}^{\vert j} =$$ 0 (L.1.6)

という方程式を使う．ベクトル型，テンソル型は複数の条件が課されるが，こ れらは定曲率空間の場合には無矛盾である．このことはベクトルやテンソルに 作用したときのラプラシアンと共変微分の交換関係を，定曲率空間の３次元曲 率テンソルを使って導くことにより示すことができる．

定曲率空間の対称性のため，これらの固有関数は$k$ について縮退した独立な 解から構成される．例えば平坦な空間におけるスカラー型のゆらぎでは，平面 波展開の基底 $\exp(i{\mbox{\boldmath $k$}}\cdot{\mbox{\boldmath $x$}})$ も，フーリエ・ベッセル展開の基 底 $j_l(kx) Y_l^m(\theta,\phi)$ も固有値$-k^2$ に属するラプラシアンの固有 関数である．縮退した自由度については自由に基底を選べるが，それをどのよ うに選ぶのが自然かは，背景の定曲率空間に張った座標系の具体的な形による． 例として，定曲率空間の球座標表示の場合に具体的にスカラー型の固有関数を 見てみよう．計量は式(10.2.2)で与えられる次の形

$$\gamma_{ij} dx^i dx^j = {d\chi^2} + {{S_K}}^2(\chi) (d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$$ (L.1.7)

である．スカラー関数のラプラシアンは式(B.2.49)に類似の公式

$$\triangle Q = \frac{1}{\sqrt{\gamma}} \partial_i \left(\sqrt{\gamma} g^{ij} \partial_j Q\right)$$ (L.1.8)

で与えられるので，式(12.1.1)はただちに

$$\frac{1}{{{S_K}}^2(\chi)} \left[ \frac{\partial}{\partial\chi} \l... ...+ \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 Q}{\partial\phi^2} \right] + k^2 Q = 0$$ (L.1.9)

となることがわかる．ここで変数分離法によれば，角方向には球面調和関数で 分離され， $Q = X_l Y_l^m$ の形となる．ここで，動径方向の関数$X_l$ は次の 微分方程式を満たす：

$$\frac{1}{{S_K}^2(\chi)} \frac{\partial}{\partial\chi} \left( {S_K... ...artial\chi} \right) + \left[ k^2 - \frac{l(l+1)}{{S_K}^2(\chi)} \right] X_l = 0$$ (L.1.10)

この方程式は $f = {S_K}^{1/2} X_l$ , $dz = {S_K}d\chi$ とおくとルジャンドル陪微分方程式に帰着し，原点 で正則な解をとればよい．その解は，曲率が負，ゼロ，正のときそれぞれ，円 錐関数(conical function)，ベッセル関数，円環関数(toroidal function)と して知られる関数で表される．これは$l$ が整数のとき初等関数で表されるあ らわな形となり，まとめて

$$X_l(\tilde{k},\chi) = \frac{{S_K}^l(\chi)}{\sqrt{N_l(\tilde{k})}}... ...l}{\partial\chi} \right)^l \left(\frac{\sin \tilde{k}\chi}{{S_K}(\chi)}\right),$$ (L.1.11)

というシンプルな形となる．ここで， $\tilde{k}^2 = k^2 + K$ ，また， $N_l(k)$ は任意の規格化因子である．規格化因子を別にすれば，この解の$k$ 依存性は $\sin \tilde{k}\chi$ , $\cos \tilde{k}\chi$ で与えられるが，このことから類推されるように，曲率がゼロ または負のとき基底が２乗可積分となるためにスペクトルのとり得る範囲は $\tilde{k}$ が実数，すなわち $k > (-K)^{1/2}$ である．一方，曲率が正のと きは有限体積であるから， $\chi = 2\pi/\sqrt{K}$ で空間が周期的になってい て， $\tilde{k}/\sqrt{K}$ は正の整数でなければならない．ただし， $\tilde{k} = \sqrt{K}$ の場合は$X_0 = 1$ , $X_l = 0 (l \geq 1)$ という一 様解を与えるので，結局， $\tilde{k}/\sqrt{K} = 2, 3, 4, \ldots$ である． このような離散的な$k$ の場合，式(12.1.11)で与えられる関数は Gegenbauerの多項式で表され， $\tilde{k}/\sqrt{K} > l+1$ である．

規格化因子として，

$$N_l(\tilde{k}) = \tilde{k}^2 (\tilde{k}^2 - 1^2 K) (\tilde{k}^2 - 2^2 K) \cdots (\tilde{k}^2 - l^2 K)$$ (L.1.12)

と選ぶと，基底の直交関係，完全性関係が比較的簡潔になる．実際，曲率がゼ ロまたは負の場合 $(K \leq 0)$ ，円錐関数， ベッセル関数の直交関係および 完全性関係から，

$$\int_0^\infty d\chi {S_K}^2(\chi) X_l(\tilde{k},\chi) X_l(\tilde{k}',\chi) = \frac{\pi}{2\tilde{k}^2} \delta(\tilde{k}-\tilde{k}'),$$ (L.1.13)

$$\int_0^\infty d\tilde{k} \tilde{k}^2 X_l(\tilde{k},\chi) X_l(\tilde{k},\chi') = \frac{\pi}{2 {S_K}^2(\chi)} \delta(\chi-\chi')$$ (L.1.14)

また，曲率が正の場合$(K > 0)$ ，Gegenbauer多項式の直交関係および完全性 関係から，

$$\int_0^\infty d\chi {S_K}^2(\chi) X_l(\tilde{k}_n,\chi) X_l(\tilde{k}_{n'},\chi) = \frac{\pi}{2{\tilde{k}_n}^2} \delta_{nn'}$$ (L.1.15)

$$\sqrt{K}\sum_{n=l+1}^\infty {\tilde{k}_n}^2 X_l(\tilde{k}_n,\chi) X_l(\tilde{k}_n,\chi') = \frac{\pi}{2 {S_K}^2(\chi)} \delta(\chi-\chi')$$ (L.1.16)

という関係が導かれる．ここで， $\tilde{k}_n = n \sqrt{K}$ は正定曲率空間の離散的スペ クトルである．

共動距離$\chi$ に関する微分は式(12.1.11)を直接微分して，

$$\frac{\partial X_l}{\partial\chi} = \frac{{C_K}(\chi)}{{S_K}(\chi)}\; l \; X_l + \sqrt{\tilde{k}^2 - (l+1)^2 K}\;X_{l+1}$$ (L.1.17)

となる．ここで，

$${C_K}(\chi) \equiv = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle ... ...\ \displaystyle \cos\left(\chi\sqrt{K}\right), & K > 0, \end{array} \right.$$ (L.1.18)

を用いた．この関数には

$${{C_K}}^2(\chi) + K {{S_K}}^2(\chi) = 1$$ (L.1.19)

$$\frac{d{S_K}(\chi)}{d\chi} = {C_K}(\chi)$$ (L.1.20)

$$\frac{d{C_K}(\chi)}{d\chi} = - K {S_K}(\chi)$$ (L.1.21)

という性質がある．式(12.1.17)を微分方程式(12.1.10)へ代入すれ ば，再帰的関係

$$(\tilde{k}^2 - l^2 K)\sqrt{N_{l-1}}\; X_{l-1} + (2l + 1)\frac{{C_K}(\chi)}{{S_K}(\chi)} \sqrt{N_l}\; X_l + \sqrt{N_{l+1}}\; X_{l+1} = 0$$ (L.1.22)

を得る．さらに式(12.1.17), (12.1.22)より，次の有用な式が得ら れる．

$$\frac{\partial X_l}{\partial\chi} = - \frac{l}{2l+1} \sqrt{\tilde... ... - l^2 K}\; X_{l-1} + \frac{l+1}{2l+1} \sqrt{\tilde{k}^2 - (l+1)^2 K}\; X_{l+1}$$ (L.1.23)

具体的に$X_0$ および$X_1$ の形を式(12.1.11)から求めれば，高次の形は 再帰的関係式(12.1.22)により導き出すことができる．その結果，最初の ５つの具体的な形は次のようになる：

$$X_0 = \frac{\sin \tilde{k}\chi}{\tilde{k}{S_K}(\chi)},$$ (L.1.24)

$$X_1 = \frac{1}{\sqrt{N_1(\tilde{k})}\; {S_K}^2(\chi)} \left[ - {C_K}(\chi)\sin \tilde{k}\chi + \tilde{k} {S_K}(\chi)\cos \tilde{k}\chi\right],$$ (L.1.25)

$$X_2 = \frac{1}{\sqrt{N_2(\tilde{k})}\; {S_K}^3(\chi)} \left\{ \left[ ... ... \tilde{k}\chi - 3\tilde{k} {S_K}(\chi){C_K}(\chi)\cos \tilde{k}\chi \right\},$$ (L.1.26)

$$X_3 = \frac{1}{\sqrt{N_3(\tilde{k})}\; {S_K}^4(\chi)} \left\{ {C_K}(\... ... - 15 + 6 (\tilde{k}^2 + K) {S_K}^2(\chi) \right] \sin \tilde{k}\chi \right.$$

$$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad + \left. \tilde{k}{S_K}(\chi) ... ... 15 - (\tilde{k}^2 + 11K) {S_K}^2(\chi) \right] \cos \tilde{k}\chi \right\},$$ (L.1.27)

$$X_4 = \frac{1}{\sqrt{N_4(\tilde{k})}{S_K}^5(\chi)} \left\{ \left[ 10... ... + 35K \tilde{k}^2 + 24K^2) {S_K}^4(\chi) \right] \sin \tilde{k}\chi \right.$$

$$\qquad\qquad\qquad\qquad - \left. \tilde{k} {S_K}(\chi) \lef... ...05 - 10(\tilde{k}^2 + 5K) {S_K}^2(\chi) \right] \cos \tilde{k}\chi \right\},$$ (L.1.28)

平坦な空間$K=0$ の場合には確かに $X_l(\tilde{k},\chi) = (-)^l j_l(\tilde{k}\chi)$ と，ベッセル関数になっている．

ベクトル型，テンソル型のモード関数も条件(12.1.2)-(12.1.6) をこの座標系で具体的に書き下して解いて行くことが可能である．その結果は ベクトル調和関数やテンソル調和関数，あるいはスピン調和関数を使って表示 できるが，それらは$X_l$ , $Y_l^m$ およびその座標微分のみで表すこ とができるようなものである．

こうして，任意の空間的関数 $F({\mbox{\boldmath $x$}})$ は完全系をなすモード $Q({\mbox{\boldmath $x$}})$ の重ね合わせとして表現できる．たとえばスカラー関数を上で述べた球座標に おけるモードで分解すると，$K \leq 0$ の場合，

$$F(\chi,\theta,\phi) = 4\pi \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l \int_0^\infty \frac{\tilde{k}^2 d\tilde{k}}{2\pi^2} F_m^l(\tilde{k}) X_l(\tilde{k},\chi) Y_l^m(\theta,\phi)$$ (L.1.29)

$$F_m^l(\tilde{k}) = \int{S_K}^2(\chi) \sin\theta d\chi d\theta d\phi F(\chi,\theta,\phi) X_l(\tilde{k},\chi) {Y_l^m}^*(\theta,\phi)$$ (L.1.30)

また，$K>0$ の場合，

$$F(\chi,\theta,\phi) = 4\pi \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l \sqrt{K} \sum_{n=l+1}^\inft... ...e{k}_n}^2}{2\pi^2} F_m^l(\tilde{k}_n) X_l(\tilde{k}_n,\chi) Y_l^m(\theta,\phi)$$ (L.1.31)

$$F_m^l(\tilde{k}_n) = \int{S_K}^2(\chi) \sin\theta d\chi d\theta d\phi F(\chi,\theta,\phi) X_l(\tilde{k}_n,\chi) {Y_l^m}^*(\theta,\phi)$$ (L.1.32)

となる．ただし，後者の場合は $\tilde{k}_n = n \sqrt{K}$ , $n > l+1$ であ る．このような分解により，ラプラシアンは$-k^2$ に置き換わり， 運動方程式は変数の各モードについて全く独立なものに分解してしまう．例え ば、スカラー成分についてのバーディーン変数による運動方程式 (10.4.166)-(10.4.169)はモードの成分ごとに，

$$\Delta' - 3 w {\cal H}\Delta = \left(k^2 - 3K \right) \left[ (1 + w) V - 2 w {\cal H}{\mit\Pi}\right]$$ (L.1.33)

$$V' + {\cal H}V = - \frac{{c_s}^2}{1 + w} \Delta - \Phi - \frac{w}{1+w} \left[ \Gamma - \frac23 (k^2 - 3K) {\mit\Pi} \right]$$ (L.1.34)

$$\left(k^2 - 3K \right) {\mit\Psi} = 4 \pi G a^2 \bar{\rho} \Delta$$ (L.1.35)

$$\Phi + {\mit\Psi}= - 8 \pi G a^2 \bar{p} {\mit\Pi}$$ (L.1.36)

である．ここで，混乱のおそれのない限り，スカラー成分を表す記号(S)を省 略する．各変数はいまや空間座標の関数ではなく，モードのラベル$k,l,m$ と 時間の関数であるが，これらのラベルも省略してある．