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定曲率空間におけるゆらぎのモード分解

ゆらぎの成長はスケールごとに異なっているので,ゆらぎをスケールごとにモー ド分解すると便利である.平坦な空間では大局的に直交デカルト座標を張れる ので,その場合には基底 $ \exp(i{\mbox{\boldmath $k$}}\cdot{\mbox{\boldmath $x$}})$ によって平面波展開を すればよく, $ k\equiv\vert{\mbox{\boldmath $k$}}\vert$ によりゆらぎのスケールが特徴づけられる. だが,宇宙の曲率が無視できないスケールを考える場合にはこの分解は使えな い.一般の定曲率空間におけるモード分解にはラプラシアン $ \triangle =
{}^{(3)}\nabla^i{}^{(3)}\nabla_j$ の固有関数により完全系をなす基底を構 成するとよい.もちろん,平坦な空間の平面波展開はこれを満たしていて波数 $ k$ のモードの固有値は$ -k^2$ である.一般の場合のモード関数の固有値もゆ らぎのスケールを特徴づけるものであり,その固有値を$ -k^2$ で特徴づける.

そこで,モード関数の定義として,スカラー型のゆらぎについて

$\displaystyle (\triangle + k^2)Q^{\rm (S)} = 0$ (L.1.1)

ベクトル型のゆらぎについて
$\displaystyle (\triangle + k^2)Q^{\rm (V)}_i$ $\displaystyle =$ 0 (L.1.2)
$\displaystyle {Q^{\rm (V)}_i}^{\vert i}$ $\displaystyle =$ 0 (L.1.3)

テンソル型のゆらぎについて
$\displaystyle (\triangle + k^2)Q^{\rm (T)}_{ij}$ $\displaystyle =$ 0 (L.1.4)
$\displaystyle {{Q^{\rm (T)}}_i}^i$ $\displaystyle =$ 0 (L.1.5)
$\displaystyle {Q^{\rm (T)}_{ij}}^{\vert j}$ $\displaystyle =$ 0 (L.1.6)

という方程式を使う.ベクトル型,テンソル型は複数の条件が課されるが,こ れらは定曲率空間の場合には無矛盾である.このことはベクトルやテンソルに 作用したときのラプラシアンと共変微分の交換関係を,定曲率空間の3次元曲 率テンソルを使って導くことにより示すことができる.

定曲率空間の対称性のため,これらの固有関数は$ k$ について縮退した独立な 解から構成される.例えば平坦な空間におけるスカラー型のゆらぎでは,平面 波展開の基底 $ \exp(i{\mbox{\boldmath $k$}}\cdot{\mbox{\boldmath $x$}})$ も,フーリエ・ベッセル展開の基 底 $ j_l(kx) Y_l^m(\theta,\phi)$ も固有値$ -k^2$ に属するラプラシアンの固有 関数である.縮退した自由度については自由に基底を選べるが,それをどのよ うに選ぶのが自然かは,背景の定曲率空間に張った座標系の具体的な形による. 例として,定曲率空間の球座標表示の場合に具体的にスカラー型の固有関数を 見てみよう.計量は式(10.2.2)で与えられる次の形

$\displaystyle \gamma_{ij} dx^i dx^j = {d\chi^2} + {{S_K}}^2(\chi) (d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$ (L.1.7)

である.スカラー関数のラプラシアンは式(B.2.49)に類似の公式

$\displaystyle \triangle Q = \frac{1}{\sqrt{\gamma}} \partial_i \left(\sqrt{\gamma} g^{ij} \partial_j Q\right)$ (L.1.8)

で与えられるので,式(12.1.1)はただちに

$\displaystyle \frac{1}{{{S_K}}^2(\chi)} \left[ \frac{\partial}{\partial\chi} \l...
...+ \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 Q}{\partial\phi^2} \right] + k^2 Q = 0$ (L.1.9)

となることがわかる.ここで変数分離法によれば,角方向には球面調和関数で 分離され, $ Q = X_l Y_l^m$ の形となる.ここで,動径方向の関数$ X_l$ は次の 微分方程式を満たす:

$\displaystyle \frac{1}{{S_K}^2(\chi)} \frac{\partial}{\partial\chi} \left( {S_K...
...artial\chi} \right) + \left[ k^2 - \frac{l(l+1)}{{S_K}^2(\chi)} \right] X_l = 0$ (L.1.10)

この方程式は $ f = {S_K}^{1/2}
X_l$ , $ dz = {S_K}d\chi$ とおくとルジャンドル陪微分方程式に帰着し,原点 で正則な解をとればよい.その解は,曲率が負,ゼロ,正のときそれぞれ,円 錐関数(conical function),ベッセル関数,円環関数(toroidal function)と して知られる関数で表される.これは$ l$ が整数のとき初等関数で表されるあ らわな形となり,まとめて

$\displaystyle X_l(\tilde{k},\chi) = \frac{{S_K}^l(\chi)}{\sqrt{N_l(\tilde{k})}}...
...l}{\partial\chi} \right)^l \left(\frac{\sin \tilde{k}\chi}{{S_K}(\chi)}\right),$ (L.1.11)

というシンプルな形となる.ここで, $ \tilde{k}^2 = k^2 + K$ ,また, $ N_l(k)$ は任意の規格化因子である.規格化因子を別にすれば,この解の$ k$ 依存性は $ \sin \tilde{k}\chi$ , $ \cos
\tilde{k}\chi$ で与えられるが,このことから類推されるように,曲率がゼロ または負のとき基底が2乗可積分となるためにスペクトルのとり得る範囲は $ \tilde{k}$ が実数,すなわち $ k > (-K)^{1/2}$ である.一方,曲率が正のと きは有限体積であるから, $ \chi = 2\pi/\sqrt{K}$ で空間が周期的になってい て, $ \tilde{k}/\sqrt{K}$ は正の整数でなければならない.ただし, $ \tilde{k} = \sqrt{K}$ の場合は$ X_0 = 1$ , $ X_l = 0 (l \geq 1)$ という一 様解を与えるので,結局, $ \tilde{k}/\sqrt{K} = 2, 3, 4, \ldots$ である. このような離散的な$ k$ の場合,式(12.1.11)で与えられる関数は Gegenbauerの多項式で表され, $ \tilde{k}/\sqrt{K} > l+1$ である.

規格化因子として,

$\displaystyle N_l(\tilde{k}) = \tilde{k}^2 (\tilde{k}^2 - 1^2 K) (\tilde{k}^2 - 2^2 K) \cdots (\tilde{k}^2 - l^2 K)$ (L.1.12)

と選ぶと,基底の直交関係,完全性関係が比較的簡潔になる.実際,曲率がゼ ロまたは負の場合 $ (K \leq 0)$ ,円錐関数, ベッセル関数の直交関係および 完全性関係から,
    $\displaystyle \int_0^\infty d\chi 
{S_K}^2(\chi) X_l(\tilde{k},\chi) X_l(\tilde{k}',\chi)
= \frac{\pi}{2\tilde{k}^2} \delta(\tilde{k}-\tilde{k}'),$ (L.1.13)
    $\displaystyle \int_0^\infty d\tilde{k} \tilde{k}^2 X_l(\tilde{k},\chi) X_l(\tilde{k},\chi')
= \frac{\pi}{2 {S_K}^2(\chi)} \delta(\chi-\chi')$ (L.1.14)

また,曲率が正の場合$ (K > 0)$ ,Gegenbauer多項式の直交関係および完全性 関係から,
    $\displaystyle \int_0^\infty d\chi 
{S_K}^2(\chi) X_l(\tilde{k}_n,\chi) X_l(\tilde{k}_{n'},\chi)
=
\frac{\pi}{2{\tilde{k}_n}^2} \delta_{nn'}$ (L.1.15)
    $\displaystyle \sqrt{K}\sum_{n=l+1}^\infty
{\tilde{k}_n}^2 X_l(\tilde{k}_n,\chi) X_l(\tilde{k}_n,\chi')
=
\frac{\pi}{2 {S_K}^2(\chi)} \delta(\chi-\chi')$ (L.1.16)

という関係が導かれる.ここで, $ \tilde{k}_n = n \sqrt{K}$ は正定曲率空間の離散的スペ クトルである.

共動距離$ \chi$ に関する微分は式(12.1.11)を直接微分して,

$\displaystyle \frac{\partial X_l}{\partial\chi} = \frac{{C_K}(\chi)}{{S_K}(\chi)}\; l \; X_l + \sqrt{\tilde{k}^2 - (l+1)^2 K}\;X_{l+1}$ (L.1.17)

となる.ここで,
$\displaystyle {C_K}(\chi) \equiv
=
\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle
...
...\
\displaystyle
\cos\left(\chi\sqrt{K}\right), & K > 0,
\end{array} \right.$     (L.1.18)

を用いた.この関数には
    $\displaystyle {{C_K}}^2(\chi) + K {{S_K}}^2(\chi) = 1$ (L.1.19)
    $\displaystyle \frac{d{S_K}(\chi)}{d\chi} = {C_K}(\chi)$ (L.1.20)
    $\displaystyle \frac{d{C_K}(\chi)}{d\chi} = - K {S_K}(\chi)$ (L.1.21)

という性質がある.式(12.1.17)を微分方程式(12.1.10)へ代入すれ ば,再帰的関係

$\displaystyle (\tilde{k}^2 - l^2 K)\sqrt{N_{l-1}}\; X_{l-1} + (2l + 1)\frac{{C_K}(\chi)}{{S_K}(\chi)} \sqrt{N_l}\; X_l + \sqrt{N_{l+1}}\; X_{l+1} = 0$ (L.1.22)

を得る.さらに式(12.1.17), (12.1.22)より,次の有用な式が得ら れる.

$\displaystyle \frac{\partial X_l}{\partial\chi} = - \frac{l}{2l+1} \sqrt{\tilde...
... - l^2 K}\; X_{l-1} + \frac{l+1}{2l+1} \sqrt{\tilde{k}^2 - (l+1)^2 K}\; X_{l+1}$ (L.1.23)

具体的に$ X_0$ および$ X_1$ の形を式(12.1.11)から求めれば,高次の形は 再帰的関係式(12.1.22)により導き出すことができる.その結果,最初の 5つの具体的な形は次のようになる:
$\displaystyle X_0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin \tilde{k}\chi}{\tilde{k}{S_K}(\chi)},$ (L.1.24)
$\displaystyle X_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{N_1(\tilde{k})}\; {S_K}^2(\chi)}
\left[ - {C_K}(\chi)\sin \tilde{k}\chi
+ \tilde{k} {S_K}(\chi)\cos \tilde{k}\chi\right],$ (L.1.25)
$\displaystyle X_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{N_2(\tilde{k})}\; {S_K}^3(\chi)}
\left\{
\left[
...
... \tilde{k}\chi - 3\tilde{k} {S_K}(\chi){C_K}(\chi)\cos \tilde{k}\chi
\right\},$ (L.1.26)
$\displaystyle X_3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{N_3(\tilde{k})}\; {S_K}^4(\chi)}
\left\{
{C_K}(\...
... - 15 + 6 (\tilde{k}^2 + K) {S_K}^2(\chi)
\right]
\sin \tilde{k}\chi
\right.$  
    $\displaystyle \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad + 
\left.
\tilde{k}{S_K}(\chi)
...
... 15 - (\tilde{k}^2 + 11K) {S_K}^2(\chi)
\right]
\cos \tilde{k}\chi
\right\},$ (L.1.27)
$\displaystyle X_4$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{N_4(\tilde{k})}{S_K}^5(\chi)}
\left\{
\left[
10...
... + 35K \tilde{k}^2 + 24K^2) {S_K}^4(\chi)
\right]
\sin \tilde{k}\chi
\right.$  
    $\displaystyle \qquad\qquad\qquad\qquad - 
\left.
\tilde{k} {S_K}(\chi)
\lef...
...05 - 10(\tilde{k}^2 + 5K) {S_K}^2(\chi)
\right]
\cos \tilde{k}\chi
\right\},$ (L.1.28)

平坦な空間$ K=0$ の場合には確かに $ X_l(\tilde{k},\chi) = (-)^l
j_l(\tilde{k}\chi)$ と,ベッセル関数になっている.

ベクトル型,テンソル型のモード関数も条件(12.1.2)-(12.1.6) をこの座標系で具体的に書き下して解いて行くことが可能である.その結果は ベクトル調和関数やテンソル調和関数,あるいはスピン調和関数を使って表示 できるが,それらは$ X_l$ , $ Y_l^m$ およびその座標微分のみで表すこ とができるようなものである.

こうして,任意の空間的関数 $ F({\mbox{\boldmath $x$}})$ は完全系をなすモード $ Q({\mbox{\boldmath $x$}})$ の重ね合わせとして表現できる.たとえばスカラー関数を上で述べた球座標に おけるモードで分解すると,$ K \leq 0$ の場合,

$\displaystyle F(\chi,\theta,\phi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l
\int_0^\infty \frac{\tilde{k}^2 d\tilde{k}}{2\pi^2}
F_m^l(\tilde{k}) X_l(\tilde{k},\chi) Y_l^m(\theta,\phi)$ (L.1.29)
$\displaystyle F_m^l(\tilde{k})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int{S_K}^2(\chi) \sin\theta d\chi d\theta d\phi
F(\chi,\theta,\phi) X_l(\tilde{k},\chi) {Y_l^m}^*(\theta,\phi)$ (L.1.30)

また,$ K>0$ の場合,
$\displaystyle F(\chi,\theta,\phi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l
\sqrt{K} \sum_{n=l+1}^\inft...
...e{k}_n}^2}{2\pi^2}
F_m^l(\tilde{k}_n) X_l(\tilde{k}_n,\chi) Y_l^m(\theta,\phi)$ (L.1.31)
$\displaystyle F_m^l(\tilde{k}_n)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int{S_K}^2(\chi) \sin\theta d\chi d\theta d\phi
F(\chi,\theta,\phi) X_l(\tilde{k}_n,\chi) {Y_l^m}^*(\theta,\phi)$ (L.1.32)

となる.ただし,後者の場合は $ \tilde{k}_n = n \sqrt{K}$ , $ n > l+1$ であ る.このような分解により,ラプラシアンは$ -k^2$ に置き換わり, 運動方程式は変数の各モードについて全く独立なものに分解してしまう.例え ば、スカラー成分についてのバーディーン変数による運動方程式 (10.4.166)-(10.4.169)はモードの成分ごとに,
    $\displaystyle \Delta' - 3 w {\cal H}\Delta
= \left(k^2 - 3K \right)
\left[ (1 + w) V - 2 w {\cal H}{\mit\Pi}\right]$ (L.1.33)
    $\displaystyle V' + {\cal H}V
= - \frac{{c_s}^2}{1 + w} \Delta - \Phi
- \frac{w}{1+w}
\left[
\Gamma - \frac23 (k^2 - 3K) {\mit\Pi}
\right]$ (L.1.34)
    $\displaystyle \left(k^2 - 3K \right) {\mit\Psi}
= 4 \pi G a^2 \bar{\rho} \Delta$ (L.1.35)
    $\displaystyle \Phi + {\mit\Psi}= - 8 \pi G a^2 \bar{p} {\mit\Pi}$ (L.1.36)

である.ここで,混乱のおそれのない限り,スカラー成分を表す記号(S)を省 略する.各変数はいまや空間座標の関数ではなく,モードのラベル$ k,l,m$ と 時間の関数であるが,これらのラベルも省略してある.


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