曲がった時空上における物理法則

重力以外の通常の物理法則は慣性系において局所的に記述されている．曲がっ た時空上では常に局所慣性系をとれるので，通常の物理法則をこの局所慣性系 で表して，それを一般座標系で書きなおせば，一般の場合へ拡張したことにな る．これは，デカルト座標で記述した方程式において，次のような置き換えを することで簡単に実行できるのである：

$$\eta_{\mu\nu} \rightarrow g_{\mu\nu}$$ (B.2.84)

$$\partial_\mu \rightarrow \nabla_\mu$$ (B.2.85)

ただし，共変微分は非可換演算子なので，この置き換えはベクトルやテンソル の微分を２回以上含む場合などには不定性が残る．そのような場合には単なる 上の置き換えによる拡張はうまく行かないので他の考察も必要になるが，通常 の問題に対してそのようなことはない．

この手続きによれば，特殊相対論におけるエネルギー・運動量テンソルの表式 (B.1.28)は

$$T^{\mu\nu} = (\rho + p) u^\mu u^\nu + p g^{\mu\nu} + {P^\mu}_i {P^\nu}_j \Sigma^{ij}$$ (B.2.86)

となる．また，エネルギー・運動量保存則は

$$\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0$$ (B.2.87)

で表されることがわかる．