測地線方程式

質点の世界線の軌道は，あるパラメータ$\lambda$ によって $x^\mu(\lambda)$ と表すことができる．物質の世界線は，パラメータを適当に取ったときに軌道 の接ベクトル (tangent vector) $u^\mu = dx^\mu/d\lambda$ が平行移動をす る線に沿ったものとなる．この線を測地線 (geodesic)といい， このときのパラメータをアフィンパラメータという．アフィンパラメー タでパラメトライズされる測地線を決める方程式は次の測地線方程式 (geodesic equation)である：

$$\frac{du^\mu}{d\lambda} + {\mit\Gamma}^\mu_{\nu\lambda} u^\nu u^\lambda = 0$$ (B.2.80)

あるいは，

$$\frac{dx^\mu}{d\lambda^2} + {\mit\Gamma}^\mu_{\nu\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda} \frac{dx^\lambda}{d\lambda} = 0$$ (B.2.81)

アフィンパラメータに一次変換 $\lambda \rightarrow a \lambda + b$ を施し ても，依然これはアフィンパラメータのままである．平行移動はノルムを変化 させないので，接ベクトル$u^\mu$ が最初にヌルベクトル (null vector) $u^\mu u_\mu = 0$ であれば，以後もずっとヌルベクトルであり続ける．これ をヌル測地線 (null geodesic)という．最初に時間的 (timelike) $u^\mu u_\mu < 0$ であれば，以後もずっと時間的であり続ける． これを時間的測地線 (timelike geodesic)という．逆に，最初に 空間的 (spacelike) $u^\mu u_\mu > 0$ であれば，以後もずっと空間的であり 続ける．これは空間的測地線 (timelike geodesic)となる．

通常の質量をもつ粒子は時間的測地線に従うので，アフィンパラメータの尺度 を適当に選べば，常に $u^\mu u_\mu = -1$ とすることができる．これは，粒 子の４元速度 $u^\mu = c^{-1}dx^\mu/d\tau$ であり，アフィンパラメータ $\lambda$ を粒子の固有時$\tau$ の$c$ 倍に一致させたことになる．この場合 の測地線方程式は

$$\frac{dx^\mu}{d\tau^2} + {\mit\Gamma}^\mu_{\nu\lambda} \frac{dx^\nu}{d\tau} \frac{dx^\lambda}{d\tau} = 0$$ (B.2.82)

である．

光など，質量のない粒子はヌル測地線にしたがう．この場合には $ds^2 = - c^2 d\tau^2 = 0$ ，つまり固有時はまったく進まないのでこれをアフィンパラ メータに取ることができない．その代わりに経路に沿って変化する別のアフィ ンパラメータを用いることになる．このとき，粒子の4元運動量が $P^\mu=dx^\mu/d\lambda$ となるようなアフィンパラメータを使えば，測地線方程式 は

$$\frac{dP^\mu}{d\lambda} + {\mit\Gamma}^\mu_{\nu\lambda} P^\nu P^\lambda = {P^\mu}_{;\nu} P^\nu = 0$$ (B.2.83)

となる．この式は粒子に質量$m$ がある場合にも，アフィンパラメータ を $\lambda = s/m$ と選べば，測地線方程式(B.2.82)を4元運動量 $P^\mu = m c u^\mu$ を用いて表したものとなる．