強結合近似

宇宙の諸成分のうち，無衝突成分であるニュートリノとダークマターについて は，重力ポテンシャル中を運動するだけであり，比較的単調な振る舞いをする． 一方，バリオンと光子はお互いに衝突するため，ゆらぎのスケー ルに応じてホライズン内で音響振動を行う． ここではその振る舞いを解析的に調べるため，方程式を強結合近似 (tight-coupling approximation) ^L3に基づいて取り扱うことを考 える．強結合近似とは，光子が電子に衝突 せずに進める距離が，考えている摂動モードの波長スケールよりも十分に小さ いという場合の近似である．この場合には光子とバリオンは強く結合するため， 衝突項の係数 $a n_e \sigma_{\rm T}$ が十分に大きくなる．この係数の逆数

$$\tau_{\rm c} \equiv \frac{1}{a n_e \sigma_{\rm T}}$$ (L.6.279)

は光子が散乱される平均的な共形時間間隔であるが、強結合近似ではこれが考 えているスケールに比べて小さい．すなわち量 $k\tau_{\rm c}$ が十分小さい 場合を考える．

光子とバリオンの発展方程式(12.4.217)-(12.4.221), (12.4.246), (12.4.247)を $\tau_{\rm c}$ によって書き直 せば，

$${\delta^{\rm (GI)}_\gamma}' - \frac43 k^2 v^{\rm (GI)}_\gamma + 4 {\mit\Psi}' = 0,$$ (L.6.280)

$$v^{\rm (GI)}_{\rm b} - v^{\rm (GI)}_\gamma = \tau_{\rm c} \left( ... ...ma}' + \frac14 \delta^{\rm (GI)}_\gamma - 2{\mit\Theta}_2 + {\mit\Phi} \right),$$ (L.6.281)

$${\mit\Theta}_2 = - \frac13 \tau_{\rm c} \left[ 4 {{\mit\Theta}_2}... ...heta}_3 + {\mit\Theta}_{{\rm P} 1} + {\mit\Theta}_{{\rm P} 3} \right) \right]$$ (L.6.282)

$${\mit\Theta}_l = -\tau_{\rm c} \left\{ {{\mit\Theta}_l}' - \frac{... ...{\mit\Theta}_{l-1} - (l+1){\mit\Theta}_{l+1}\right] \right\}, \quad (l \geq 3),$$ (L.6.283)

$${\mit\Theta}_{{\rm P} 0} = - \frac13 \tau_{\rm c} \left[ 5 {{\mi... ...eta}_3 + 2{\mit\Theta}_{{\rm P} 1} + {\mit\Theta}_{{\rm P} 3} \right) \right]$$ (L.6.284)

$${\mit\Theta}_{{\rm P} 1} = - \tau_{\rm c} \left[ {{\mit\Theta}_{... ...3} \left({\mit\Theta}_{{\rm P} 0} - 2{\mit\Theta}_{{\rm P} 2}\right) \right],$$ (L.6.285)

$${\mit\Theta}_{{\rm P} 2} = - \frac13 \tau_{\rm c} \left[ {{\mit\... ...eta}_3 - {\mit\Theta}_{{\rm P} 1} + 4{\mit\Theta}_{{\rm P} 3} \right) \right]$$ (L.6.286)

$${\mit\Theta}_{{\rm P} l} = - \tau_{\rm c} \left\{ {{\mit\Theta}_... ... P} l-1} - (l+1){\mit\Theta}_{{\rm P} l+1} \right] \right\}, \quad (l \geq 3)$$ (L.6.287)

$${\delta_{\rm b}^{\rm (GI)}}' - k^2 v_{\rm b}^{\rm (GI)} + 3 {\mit\Psi}' = 0,$$ (L.6.288)

$$v^{\rm (GI)}_\gamma - v^{\rm (GI)}_{\rm b} = \tau_{\rm c} R \left( {v_{\rm b}}' + {\cal H}v_{\rm b}^{\rm (GI)} + {\mit\Phi} \right)$$ (L.6.289)

となる．ここで $\tau_{\rm c}$ を含む項はすべて右辺にくるように変形し，特 にその形を保ちつつ左辺にくる ${\mit\Theta}_2$ , ${\mit\Theta}_{{\rm P} 0}$ , ${\mit\Theta}_{{\rm P} 2}$ の線形結合をあらわに解いた形になるようにした．こ の形により， $\tau_{\rm c}$ が小さい場合に低次のオーダーから順番に解いて いくことができる．ただし最後の式において，

$$R \equiv \frac34 \frac{\bar{\rho}_{\rm b}}{\bar{\rho}_\gamma}$$ (L.6.290)

である．この量は式(6.4.90)の3番目の等式(これはダークマターなど他 の成分があっても成立する)により，バリオン・光子の混合流体の音速$c_{\rm s}$ と次の関係にある：

$${c_{\rm s}}^2 = \frac{c^2}{3}\frac{1}{1 + R}$$ (L.6.291)

まず，強結合近似の0次のオーダーの解を求めよう．式 (12.6.285)-(12.6.294)において $\tau_{\rm c} = 0$ と置けば， これらの方程式系は

$${\delta^{\rm (GI)}_\gamma}' - \frac43 k^2 v^{\rm (GI)}_\gamma + 4 {\mit\Psi}' = 0,$$ (L.6.292)

$$v^{\rm (GI)}_\gamma = v^{\rm (GI)}_{\rm b}$$ (L.6.293)

$${\mit\Theta}_l = 0, \quad (l\geq 2), \quad$$ (L.6.294)

$${\mit\Theta}_{{\rm P} l} = 0, \quad (l\geq 0),$$ (L.6.295)

$${\delta_{\rm b}^{\rm (GI)}}' - k^2 v_{\rm b}^{\rm (GI)} + 3 {\mit\Psi}' = 0,$$ (L.6.296)

となる．これら0次の式は完全な強結合の極限を表している．式 (12.6.298)は，バリオンと光子が完全に結合して速度が等しくなって いることを表している．また，この極限では光子の偏光は存在しない．これは， 光子とバリオンの結合が強いため，バリオン静止系に対して光子の分布が等方 化してしまうことによる．偏光は非等方分布から生じるので，この場合生じる ことができないのである．式(12.6.297), (12.6.298), (12.6.301)から容易に $4{\delta^{\rm (GI)}_{\rm b}}' = 3 {\delta^{\rm (GI)}_\gamma}'$ が得られる．これは式(12.5.264で見 たように，バリオン-エントロピー比 $n_{\rm b}/s$ のゆらぎが時間変化しないことを意味し、 宇宙初期には空間的に一定値をとると考えられるので，解は

$$\delta^{\rm (GI)}_{\rm b} = \frac34 \delta^{\rm (GI)}_\gamma$$ (L.6.297)

となる．こうして，バリオンと光子は一体となって成長する．

Footnotes

... approximation^L3

P. J. E. Peebles and J. T. Yu, The Astrophysical Journal 162, 815 (1970)