相対論的物質の場合

同様に，相対論的物質のみの宇宙を考えてみよう．この場合， $w ={c_s}^2=1/3$ とおくことにより，ゆらぎの成長の式は

$$\Delta' - {\cal H}\Delta = \frac43 \left(k^2 - 3K \right) V$$ (L.2.46)

$$V' + {\cal H}V = - \frac14 \Delta - \Phi$$ (L.2.47)

$$- \left(k^2 - 3K \right) \Phi = 4 \pi G a^2 \bar{\rho} \Delta$$ (L.2.48)

となる．式(10.4.82) を用いると，$\Delta$ の方程式は

$$\Delta'' - \left[ 2 {\cal H}^2 + 2 K - \frac{k^2}{3} \right] \Delta = 0$$ (L.2.49)

となる．現実には相対論的物質が優勢の宇宙は十分初期であり，このとき上式 の曲率の項は前の項に比べて無視でき，スケール因子は $a\propto t^{1/2}\propto \tau$ となる．以下，この近似で解を調べる．この場合には時 間変数の代わりにスケール因子を用いると便利で，曲率項を落した上式は

$$a^2 \frac{d^2\Delta}{da^2} - \left(2 - \frac{k^2}{3a^2 H^2}\right) \Delta = 0$$ (L.2.50)

となる．

ここでは音速が光速のオーダーなので，ジーンズスケールがホライズンスケー ルのオーダーとなり，ホライズンよりも小さなスケールのゆらぎは成長できな い．超ホライズンスケール$k\ll aH$ の解は $\Delta \propto a^n$ と置くこと によりただちに $\Delta \propto a^2, a^{-1}$ と求まる．したがって，超ホラ イズンスケールの成長解として，

$$\Delta = \frac{a^2}{{a_{\rm in}}^2} \Delta_{\rm in}$$ (L.2.51)

$$V = \frac34 \frac{H_{\rm in}}{k^2 - 3K} a \Delta_{\rm in}$$ (L.2.52)

$$\Phi = - \frac32 \ \frac{{a_{\rm in}}^2 {H_{\rm in}}^2}{k^2 - 3K} \Delta_{\rm in}$$ (L.2.53)

を得る．ここで， $a^2 H = {\rm const.}$ を用いた．したがって，輻射優勢期 でもポテンシャル$\Phi$ が一定となっていることがわかる．

一方，サブホライズンスケールでは

$$\frac{d^2\Delta}{da^2} + \frac{k^2}{3a^4 H^2} \Delta = 0$$ (L.2.54)

となるが，$a^2 H$ は一定なので，ただちに積分できて，振動解

$$\Delta \propto \exp\left(i \frac{k}{\sqrt{3}{a_{\rm in}}^2 H_{\rm in}} a \right)$$ (L.2.55)

を得る．ホライズンよりも小さいスケールへいけばいくほどより速く振動して いることがわかる．

ゆらぎのスケールがホライズンを横切ると成長モードが振動に転ずることにな る．そのふるまいは式(12.2.50)を近似なしに解けば得られが，これも実 は解析的にできる．すなわち， $\Delta = a F$ とおいて $a H^2 = {\rm const.}$ に注意すれば方程式は一次の球ベッセル関数の微分方程式に帰着し， その結果，一般解は

$$\Delta = a \left[A j_1\left(\frac{k}{\sqrt{3}aH}\right) + B n_1\left(\frac{k}{\sqrt{3}aH}\right) \right]$$ (L.2.56)

となる．ここで$A$ , $B$ は積分定数，$j_1$ , $n_1$ はそれぞれ一次の第一種球 ベッセル関数，第二種球ベッセル関数である．ベッセル関数の漸近形を使えば 当然ながら上で得た式を再現する．超ホライズンスケールでは第一項が成長モー ド $\propto a^2$ ，第二項が減衰モード $\propto a^{-1}$ に近付き，サブホラ イズンスケールでは両項ともに振動する．