非相対論的物質の場合

宇宙に非相対論的物質のみしかないと近似できる場合を考える．これは宇宙の， $w \ll 1$ となるので，バーディーン変数による一成分の成長の式 (12.1.33)-(12.1.36) は

$$\Delta' = \left(k^2 - 3K \right) V$$ (L.2.37)

$$V' + {\cal H}V = - {c_s}^2 \Delta - \Phi$$ (L.2.38)

$$- \left(k^2 - 3K \right) \Phi = 4 \pi G a^2 \bar{\rho} \Delta$$ (L.2.39)

というシンプルな式になる．これは$\Delta$ の方程式にすれば，

$$\Delta'' + {\cal H}\Delta' =a^2 \left[ 4\pi G \bar{\rho} - \frac{{c_s}^2(k^2 - 3K)}{a^2} \right] \Delta$$ (L.2.40)

となるが，現実の宇宙ではジーンズスケールは曲率のスケールに比べればとて も小さいので，$K$ の項が効くことはないので落す．これは共形時間$\tau$ か ら通常の時間$t$ の微分方程式に直せばニュートン近似の場合(6.2.30) と全く同様の式になる：

$$\ddot{\Delta} + 2 H \dot{\Delta} = \left( 4\pi G \bar{\rho} - \frac{{c_s}^2 k^2}{a^2} \right) \Delta$$ (L.2.41)

この方程式の解の振る舞いはニュートン近似のところですでに詳細に調べてあ る．この式はホライズンスケールを超えるような相対論的な領域でも成り立っ ていたのである．この解を代入することにより，式(12.2.37), (12.2.39)から容易に$V$ , $\Phi$ の形も求まる．ジーンズ波長より大き なスケールでのその結果は成長モードと減衰モードの時間発展 $D_\pm(\tau)$ , $f_\pm(\tau)$ により

$$\Delta = D_+ A_+ + D_- A_-$$ (L.2.42)

$$V = \frac{a H}{k^2 - 3K} \left(f_+ D_+ A_+ + f_- D_- A_-\right)$$ (L.2.43)

$$\Phi = - \frac32 \ \frac{a^3 H^2 \Omega}{k^2 - 3K} \frac{1}{a} \left(D_+ A_+ + D_- A_-\right)$$ (L.2.44)

また，最後の式では，物質優勢により $a^3 H^2 \Omega = {\rm const.}$ であ る．

初期の宇宙$a \ll 1$ においては，膨張の式において曲率や宇宙項の影響が小さ くなり，スケール因子の成長則はアインシュタイン・ドジッター宇宙の場合の もの $a\propto t^{2/3}$ , $H \propto a^{-3/2}$ に近付いて行く．その場合， 成長モードは $D_+ \propto a$ , $f_+ \propto 1$ となるので， $\Delta \propto a$ , $V \propto a^{1/2}$ , $\Phi \propto 1$ のようにふるまう．す なわち，不変ポテンシャル$\Phi$ は一定となる．負の曲率や正の宇宙項がある 場合には$D_+$ が$a$ よりも遅い成長をするので，ポテンシャルのゆらぎはその 分時間とともに減少することになる．

バーディーン変数$\Delta$ はホライズンよりも大きいスケールだろうが，小さ いスケールだろうが，同様に成長する．これは全物質ゲージの密度ゆらぎがそ うであることを意味するが，密度ゆらぎはゲージ依存するので，他のゲージで の密度ゆらぎはまた異なるふるまいをする．ニュートンゲージにおける密度ゆ らぎである $\delta^{\rm (GI)}$ のふるまいを見てみよう．アインシュタイン・ ドジッターの成長モードでは，式(10.4.164), (10.4.165)から，

$$\delta^{\rm (GI)} = \Delta + 3 a H V \propto a + \frac{3 a^3 H^2}{k^2}$$ (L.2.45)

である．第２項は時間について定数となる．ここで$aH$ はホライズンスケール の逆数であるから，サブホライズンスケール$k\gg aH$ の場合，上式の第一 項が優勢になり，ニュートン近似の場合にしたがって成長する．だが，逆に超 ホライズンスケール$k\ll aH$ の場合には第２項が優勢になるので，ゆらぎ は成長しない．これは全物質ゲージとは定性的に全く異なるものである．