中性子 - 陽子比

弱い相互作用は中性子と陽子をお互いに入れ換えることができる．ニュートリ ノの脱結合のころには，弱い相互作用が効かなくなることによって，中性子と 陽子の数密度も固定されることになる．陽子$p$ と中性子$n$ は，初期には弱い 相互作用により，次の反応

$${\rm p} + {\rm e}^- \leftrightarrow {\rm n} + \nu_{\rm e},\quad {... ...{\rm e}^+,\quad {\rm p} + {\rm e}^- + \bar{\nu}_{\rm e} \leftrightarrow {\rm n}$$

によって平衡状態となっている．最後の反応は$\beta$ 崩壊の反応である． $\beta$ 崩壊の半減期は900秒程度であり，いま考えている時間スケールにくら べて十分長い．弱い相互作用の理論によれば，最初の二つの反応率はオーダー として，

$${\mit\Gamma}\sim \frac{{G_{\rm F}}^2 \left(1 + 3 {g_{\rm A}}^2\right) {k_{\rm B}}^5 T^5}{\hbar}$$ (D.5.57)

で与えられる．ここで， $g_{\rm A} =1.26$ は核子の擬ベクトル結合定数 (axial-vector coupling constant)と呼ばれるものである．すると，輻射 優勢期のハッブルパラメータと温度の関係式(4.2.31)から，

$$\frac{{\mit\Gamma}}{H} \sim \left(\frac{T}{0.9 \times 10^{10} {\rm K}}\right)^3$$ (D.5.58)

となる．すなわち，温度 $T=0.9\times 10^{10} {\rm K}$ において陽子が中性 子へ転化する反応がなくなり，中性子数は増えなくなる．ただし，孤立した中 性子は$\beta$ 崩壊によって，徐々に陽子へ転化することができる．

温度が $T > 0.9 \times 10^{10} {\rm K}$ のときには反応が熱平衡であるか ら，中性子 - 陽子比は

$$\frac{n_{\rm n}}{n_{\rm p}} = \exp\left[ - \frac{(m_{\rm n} - m_{... ...k_{\rm B} T} \right] = \exp\left( - \frac{1.5\times10^{10} {\rm K}}{T} \right)$$ (D.5.59)

で表される．十分高温では当然この比は1であるが，反応が切れる $0.9\times 10^{10} {\rm K}$ までにこの比は1よりも小さくなっている．温度が $T < 0.9 \times 10^{10} {\rm K}$ となると$\beta$ 崩壊を別にすればこの比は凍結し ている．ここで，おおざっぱな見積もりとして，ちょうど $T=0.9\times 10^{10} {\rm K}$ の時点で，熱平衡の場合の比が凍結するものと考えてみよ う．するとその値は

$$\frac{n_{\rm n}}{n_{\rm p}} \sim e^{-1.5/0.9} \simeq \frac16$$ (D.5.60)

となる．より正確な取り扱いをしても，この見積もりに近い値となる．時間が 経つと自由な中性子は$\beta$ 崩壊によって徐々に陽子へ転化していくので， 次で見るように，中性子が陽子と結合して元素を合成し始める温度 $10^9\ {\rm K}$ までに，上の比は$1/7$ 程度に減少する．