最小作用の原理

アインシュタイン方程式を導く作用は次のアインシュタイン・ヒルベルト作用 である．

$$S_{\rm EH} = \frac{c^3}{16\pi G} \int \sqrt{-g}d^4x (R - 2{\mit\Lambda})$$ (B.2.105)

また，物質を表す場のラグランジアン密度を ${\cal L}_{\rm matter}$ とすれ ば，全体の作用は

$$S = S_{\rm EH} + \frac{1}{c}\int \sqrt{-g}d^4x {\cal L}_{\rm matter}$$ (B.2.106)

となる．この式の変分 $\delta S/\delta g_{\mu\nu} = 0$ によって運動方程式 をもとめると，アインシュタイン方程式が導かれる．このとき，物質のエネル ギー運動量テンソル $T_{\mu\nu}$ とラグランジアン密度は次のように関係し ている：

$$T_{\mu\nu} = - 2 \frac{\partial {\cal L}_{\rm matter}}{\partial g^{\mu\nu}} + g_{\mu\nu} {\cal L}_{\rm matter}$$ (B.2.107)

例えば、物質場の最も簡単な例として実スカラー場$\phi$ を考えると、そのラ グランジアン密度は

$${\cal L} = - \frac12 g^{\mu\nu} \partial_\mu \phi \partial_\nu \phi - V(\phi)$$ (B.2.108)

で与えられ、その運動方程式 $\delta S/\delta \phi = 0$ は

$$\frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\mu\left(\sqrt{-g} g^{\mu\nu}\partial_\nu \phi \right) - V'(\phi) = 0$$ (B.2.109)

あるいは式(B.2.49)のダランベルシアンを使い、

$$\nabla^\mu \nabla_\mu \phi - V'(\phi) = 0$$ (B.2.110)

となる。また、対称エネルギー運動量テンソル(B.2.107)は、

$$T^{\mu\nu} = \partial^\mu \phi \partial^\nu \phi - g^{\mu\nu} \le... ...ac12 g^{\alpha\beta} \partial_\alpha \phi \partial_\beta \phi + V(\phi) \right]$$ (B.2.111)

となる．

なお，式(B.2.105)の作用は時空に境界のない場合のものであり，境界が 存在する場合の作用は以下のようになる：

$$S_{\rm C} = \frac{c^3}{16\pi G} \int_M \sqrt{-g}d^4x (R - 2{\mit\Lambda}) + \frac{c^3}{8\pi G} \int_{\partial M} \sqrt{h} d^3x K$$ (B.2.112)

ここで，$M$ は考えている時空を表す多様体を示し、 $\partial M$ はその多様 体の境界を表す。また，$h$ はその境界上での３次元計量$h_{ij}$ の行列式 $h = \det (h_{ij})$ である．さらに，$K$ は $\partial M$ の外曲率$K_{ij}$ のト レース $K = h^{ij} K_{ij}$ である．外曲率は３次元境界が４次元時空中でど のように埋め込まれているのかを表すもので次のように定義される．すなわち， まず境界の３次元面に直交する垂直ベクトル$n_\mu$ を考える．境界上の３次 元座標を$i,j,k$ などとして，このベクトルを境界に沿って$dx^j$ だけ平行移 動したときに，その点でのベクトルのずれを$dn_i$ とする．

図 B.1: 外曲率

このとき外曲率は $dn_i = -K_{ij} dx^j$ により定義される．このとき，$n_\mu$ は境界面方向 の成分を持たず，また$dn_\mu$ は逆に境界面方向の成分しか持たないから， $dn_i = {\mit\Gamma}^k_{ij} n_k dx^j = - n_{i;j} dx^j$ と表される．つまり， $K_{ij} = - n_{i;j}$ である．