共変微分

一般座標において，スカラーの微分 $\partial_\mu f$ はベクトルとなるが， ベクトルの微分 $\partial_\nu A^\mu$ はテンソルとはならない．そこで，微分 の線形性を保ちつつ，ベクトルに作用して２階テンソルを与えるような演算子 を

$$\nabla_\nu A^\mu = \partial_\nu A^\mu + \Gamma^\mu_{\nu\lambda} A^\lambda$$ (B.2.43)

により導入し，これを共変微分という．ここで， $\Gamma^\mu_{\nu\lambda}$ は接続あるいはクリストッフェル記号 と呼ぶ．これは，式(B.2.43)のがテンソルであるという要求により，

$$\Gamma_{\lambda\nu}^{\mu} = \frac{1}{2} g^{\mu\rho} \left( \parti... ...o\lambda} + \partial_\lambda g_{\rho\nu} - \partial_\rho g_{\lambda\nu} \right)$$ (B.2.44)

で与えられる．局所慣性系のデカルト座標においては計量の一階微分が消える ため，接続はゼロとなり共変微分は通常の微分に帰着する．その意味で，共変 微分はデカルト座標における微分の，一般座標におけるものへの一般化になって いる．クリストッフェル記号自身はテンソルではない．

下つき添字のベクトルの共変微分は同じクリストッフェル記号により，

$$\nabla_\nu A_\mu = \partial_\nu A_\mu - \Gamma^\lambda_{\nu\mu} A_\lambda$$ (B.2.45)

である．高階テンソルについては，例えば

$$\nabla_\rho {C^\mu}_{\nu\lambda} = \partial_\rho {C^\mu}_{\nu\lam... ...sigma\lambda} - \Gamma^\sigma_{\rho\lambda} C^\mu_{\nu\sigma} \qquad {\rm etc.}$$ (B.2.46)

などのようになる．一般に共変微分は通常の微分と異なり，可換ではない．共 変微分はセミコロンで表して，例えば式(B.2.46) は $\nabla_\rho {C^\mu}_{\nu\lambda} = {{C^\mu}_{\nu\lambda}}_{;\rho}$ などのように書 かれることもある．これに対して単なる微分はカンマで表し， $\partial_\rho {C^\mu}_{\nu\lambda} = {{C^\mu}_{\nu\lambda}}_{,\rho}$ のように書かれ る．

スカラー場の微分はそのままでテンソルとなるので，共変微分は通常の微分に 等しい．また，計量テンソルの共変微分は一般的にゼロである：

$$g_{\mu\nu;\lambda} = 0$$ (B.2.47)

また，ベクトルの一般化された発散は

$$\nabla_\mu A^\mu = \frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\mu \left(\sqrt{-g} A^\mu\right)$$ (B.2.48)

という全微分形で与えられる．従って、スカラー場に対する一般化されたダラ ンベルシアンは

$$\nabla^\mu \nabla_\mu \phi = \frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\mu \left(\sqrt{-g} g^{\mu\nu} \partial_\nu \phi\right)$$ (B.2.49)

となる．

高階テンソルの発散については、それが反対称テンソルであるときのみ 全微分形となる。例えば、

$$\nabla_\nu A^{[\mu\nu]} = \frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\nu \left(\sqrt{-g} A^{[\mu\nu]}\right)$$ (B.2.50)

などとなる。