計量とテンソル

時空間に曲率がある場合，慣性系を時空間全体に渡って定義することができな い．この場合，空間全体にわたってデカルト座標を張ることはできないので， 座標$x^\mu$ はもっと一般的なものとなる．一般的な座標における微小時空間 隔を

$$ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$$ (B.2.33)

で表す．計量テンソル $g_{\mu\nu}$ は一般に対称行列を成分にもち，場所の関 数となる．時空がなめらかであれば局所的には慣性系を張ることは可能である．

座標変換 $x^\mu \rightarrow {x'}^\mu$ を行うとき，局所的な座標成分の変換 係数を

$$d{x'}^\alpha = \frac{\partial {x'}^\alpha}{\partial {x'}^\mu} dx^\mu$$ (B.2.34)

のように書く．すると，時空間隔(B.2.33)の局所的ローレンツ不変性に より，計量テンソルは局所的に

$$g_{\mu\nu} = \frac{\partial {x'}^\alpha}{\partial x^\mu} \frac{\partial {x'}^\beta}{\partial x^\nu} {g'}_{\alpha\beta}$$ (B.2.35)

のように変換する．

ベクトルは時空上の場所ごとに定義され，座標変換に対して，$dx^\mu$ のよう に変換されるものである：

$${A'}^\alpha = \frac{\partial {x'}^\alpha}{\partial x^\mu} A^\mu$$ (B.2.36)

添字を下げるには計量テンソルを用いて，

$$A_\mu = g_{\mu\nu} A^\nu$$ (B.2.37)

とする．逆に添字を上げるには計量テンソル $g_{\mu\nu}$ を成分とする行列の 逆行列 $g^{\mu\nu}$ ：

$$g^{\mu\lambda} g_{\lambda\nu} = \delta^\mu_\nu$$ (B.2.38)

を用いて，

$$A^\mu = g^{\mu\nu} A_\nu$$ (B.2.39)

となる．共変ベクトルの変換は

$${A'}_\alpha = \frac{\partial x^\mu}{\partial {x'}^\alpha} A_\mu$$ (B.2.40)

となる．高階のテンソルの変換則も明らかであろう．

ある時空上の点に局所慣性系 $\bar{x}^\mu$ を張ったとき，時空体積素片は $d^4\bar{x} = d\bar{x}^0 d\bar{x}^1 d\bar{x}^2 d\bar{x}^3$ で定義される． これを一般座標で表せば，計量の変換

$$g_{\mu\nu} = \frac{\partial \bar{x}^\alpha}{\partial x^\mu} \frac{\partial \bar{x}^\beta}{\partial x^\nu} \eta_{\alpha\beta}$$ (B.2.41)

から，ヤコビアンは $J = \vert\partial \bar{x}^\alpha/\partial x^\mu\vert = \sqrt{-g}$ となる．ここで $g = \det (g_{\mu\nu})$ は計量の行列式である． したがって，一般座標での時空体積素片は $\sqrt{-g}d^4x$ である． よく使われる関係として，行列式の微分は

$$dg = g g^{\mu\nu} dg_{\mu\nu}$$ (B.2.42)

である．