完全反対称テンソルと曲った時空上での積分

4つの添字を持ち、任意の添字の交換について反対称なテンソル $\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}$ を完全反対称テンソルという。つまり、

$$\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma} = \epsilon_{[\mu\nu\rho\sigma]}$$ (B.2.51)

を満たすテンソルである。さらに、局所ミンコフスキー座標において $\bar{\epsilon}_{0123} = 1$ となるように規格化されているものとする。す ると、局所ミンコフスキー座標 $\bar{x}^\mu$ からの座標変換と行列式の定義 により

$$\epsilon_{0123} = \frac{\partial \bar{x}^{\mu}}{\partial x^0} \fr... ...} = \det\left(\frac{\partial \bar{x}^\alpha}{\partial x^\mu}\right) = \sqrt{-g}$$ (B.2.52)

となる。完全反対称テンソルの積については次の双対則が成り立つ：

$$\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \epsilon_{\mu\nu\rho\sigma} = -24 \delta^{[\alpha}_\mu \delta^\beta_\nu \delta^\gamma_\rho \delta^{\delta]}_\sigma$$ (B.2.53)

$$\epsilon^{\alpha\beta\gamma\sigma} \epsilon_{\mu\nu\rho\sigma} = -6 \delta^{[\alpha}_\mu \delta^\beta_\nu \delta^{\gamma]}_\rho$$ (B.2.54)

$$\epsilon^{\alpha\beta\rho\sigma} \epsilon_{\mu\nu\rho\sigma} = -4 \delta^{[\alpha}_\mu \delta^{\beta]}_\nu$$ (B.2.55)

この完全反対称テンソルは曲った時空上での積分を考えるのに重要な役割を果 たす。はじめに2次元面積分を考える。2つの線要素$d_1x^\mu$ , $d_2x^\mu$ が 作る2次元面要素を考え、この面に垂直でかつお互いにも垂直な2つの単位ベク トルを$n^\mu$ , $s^\mu$ とする。ここで$n^\mu$ と$s^\mu$ の両方とも時間的ベ クトルとなることはないが、面要素が空間的である場合には片方は時間的ベク トルとなる。その場合には前者をそうであるとして $n_\mu n^\mu = \pm 1$ , $s_\mu s^\mu = 1$ とする。ここで面要素が時間的な場合に上の符号をとり、 空間的な場合に下の符号を取る。するとこの面要素の面積を$dS$ とするとき、

$$d\sigma_{\mu\nu} \equiv \epsilon_{\mu\nu\alpha\beta} d_1 x^\alpha d_2 x^\beta = \pm n_{[\mu} s_{\nu]} dS$$ (B.2.56)

が成り立つ。したがって面積は

$$dS = - n^\mu s^\nu \epsilon_{\mu\nu\alpha\beta} d_1 x^\alpha d_2 x^\beta$$ (B.2.57)

で与えられる。ここで $d\sigma_{\mu\nu}$ に双対なテンソル

$$dS^{\mu\nu} \equiv -\frac12 \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} d\sigm... ...[\mu} d_2 x^{\nu]} = \mp \frac12 n_\rho s_\sigma \epsilon^{\rho\sigma\mu\nu} dS$$ (B.2.58)

が2次元面要素を表わすテンソルである。これはちょうど、3次元空間での面要 素が、それに垂直な方向を向いて大きさが面積となるベクトルで表わされるの と同じことで、いま4次元なために2階のテンソルとなったのである。同様に3 次元体積超曲面の3次元面積$d\Sigma$ に対して

$$d\Sigma_\mu \equiv \epsilon_{\mu\nu\rho\sigma} d_1 x^\nu d_2 x^\rho d_3 x^\sigma = \pm n_\mu d\Sigma$$ (B.2.59)

が成り立つ。したがって

$$d\Sigma = n^\mu \epsilon_{\mu\nu\rho\sigma} d_1 x^\nu d_2 x^\rho d_2 x^\sigma$$ (B.2.60)

で与えられる。ここで $d\Sigma_{\mu\nu}$ に双対なテンソルは

$$d\Sigma^{\mu\nu\rho} \equiv - \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} d\Si... ..._1 x^{[\mu} d_2 x^{\nu} d_3 x^{\rho]} = n_\sigma \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} dS$$ (B.2.61)

で与えられる。さらに4次元体積要素は

$$dV = \epsilon_{\mu\nu\rho\sigma} d_1 x^\mu d_2 x^\nu d_3 x^\rho d_4 x^\sigma$$ (B.2.62)

であり、これに双対なテンソルは

$$dV^{\mu\nu\rho\sigma} \equiv - \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} dV = 4! d_1 x^{[\mu} d_2 x^{\nu} d_3 x^{\rho]}$$ (B.2.63)

である。

ここで、無限小ベクトル $d_\alpha x^\mu$ $(\alpha=0,1,2,3)$ の座標表示として それぞれ

$$d_0 x^\mu = (dx^0,0,0,0),$$ (B.2.64)

$$d_1 x^\mu = (0,dx^1,0,0),$$ (B.2.65)

$$d_2 x^\mu = (0,0,dx^2,0),$$ (B.2.66)

$$d_3 x^\mu = (0,0,0,dx^3),$$ (B.2.67)

と取ると

$$dS = n^0 s^3 \sqrt{-g} dx^1 dx^2,$$ (B.2.68)

$$d\Sigma = n^0\sqrt{-g} dx^1 dx^2 dx^3,$$ (B.2.69)

$$dV = \sqrt{-g} dx^0 dx^1 dx^2 dx^3 \equiv \sqrt{-g} d^4x,$$ (B.2.70)

となる。

これらの記法を用いると、以下のような曲った空間におけるストークスの定 理が成り立つ：

$$\int_S A_{[\mu,\nu]} dS^{\mu\nu} = \int_{\partial S} A_\mu d\ell^\mu,$$ (B.2.71)

$$\int_\Sigma A_{[\mu\nu,\rho]} d\Sigma^{\mu\nu\rho} = \int_{\partial \Sigma} A_{[\mu\nu]} dS^{\mu\nu}$$ (B.2.72)

$$\int_V A_{[\mu\nu\rho,\sigma]} dV^{\mu\nu\rho\sigma} = \int_{\partial V} A_{[\mu\nu\rho]} d\Sigma^{\mu\nu\rho}$$ (B.2.73)

境界の境界がゼロであることとこれらの公式を用いると以下の量は恒 等的に消える：

$$\int_\Sigma A_{[\mu,\nu\rho]} d\Sigma^{\mu\nu\rho} = 0,$$ (B.2.74)

$$\int_V A_{[\mu\nu,\rho\sigma]} dV^{\mu\nu\rho\sigma} = 0.$$ (B.2.75)

ここで、微分されたテンソルを反対称化するとテンソルになり、

$$A_{[\mu,\nu]} = A_{[\mu;\nu]}, \qquad A_{[\mu\nu,\rho]} = A_{[\mu\nu;\rho]}, \qquad A_{[\mu\nu\rho,\sigma]} = A_{[\mu\nu;\sigma]},$$ (B.2.76)

であるが、ストークスの定理自体は時空の計量には依らずに成り立つ恒等式で ある。一方ガウスの法則は式(B.2.73)において $A^\mu = \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}A_{\nu\rho\sigma}$ とおくと証明でき、

$$\int_V {A^{\mu}}_{;\mu} dV = \int_{\partial V} A^\mu d\Sigma_\mu$$ (B.2.77)

となる。したがって、上で与えられたストークスの定理以上の情報を含んでい ないが、計量に依存した関係式となっている。