ニュートンの重力理論との対応

ニュートンの重力理論では重力ポテンシャル$\phi$ により重力が記述される． 一般相対論を次の条件の下に近似することにより，ニュートン理論が導かれる．

1. 考えている系の座標系では，時空は平坦に近く，

   $$g_{\mu\nu}(x) = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}(x), \quad \vert h_{\mu\nu}\vert \ll 1$$ (B.2.102)

   
   
   が成り立つ．

2. $h_{\mu\nu}$ は準静的である．すなわち，考えている系の長さのサイズ を$L$ とするとき，

   $$\left\vert\frac{\partial h_{\mu\nu}}{\partial t}\right\vert \ll \... ...partial^2 h_{\mu\nu}}{{\partial t}^2}\right\vert \ll \left(\frac{c}{L}\right)^2$$ (B.2.103)

   
   
   が成り立ち，かつ， $\vert g_{0i}\vert \ll 1$ である．

3. 物質の運動は非相対論的である．すなわち，物質の速度$v$ は

   $$\frac{v^2}{c^2} \ll 1$$ (B.2.104)

   
   
   をみたす．さらに， $\vert h_{\mu\nu}\vert$ と$v^2/c^2$ は同じオーダーであるとする．