ガウシアン密度ゆらぎ

ガウシアン密度ゆらぎにおいては，密度ゆらぎ $\delta({\mbox{\boldmath $x$}})$ の値の空間的 な分布がガウス分布にしたがう．すなわち，空間のある点における密度ゆらぎ の値が$\delta$ から $\delta + d\delta$ の微小区間内にある確率は

$$P(\delta) d\delta = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \exp\left( - \frac{\delta^2}{2 \sigma^2} \right) d\delta$$ (P.5.31)

で与えられる．ここで$\sigma$ は密度ゆらぎの分散

$$\sigma^2 \equiv \left\langle \delta^2 \right\rangle$$ (P.5.32)

で，平均 $\langle\cdots\rangle$ は空間的な平均値を表している．

このガウス分布は，ランダムな要素を含むさまざまな物理現象においてよく表 れてくるもので，一般的に重要な分布である．この分布が普遍的によく表れる 理由の一つは中心極限定理というもので説明される．一般に多数の独立なラン ダム変数があるとき，それらのランダム変数の和もひとつのランダム変数であ る．中心極限定理によれば，もともとのランダム変数がどのような分布を持っ ていようともその和の分布はガウス分布となるのである．

インフレーションモデルによって生成される密度ゆらぎも通常のモデルではほ ぼガウシアン密度ゆらぎとなる．また，観測的にも宇宙背景放射のゆらぎ や宇宙大規模構造を調べることにより，宇宙の初期ゆらぎはほぼガウス分布で 説明できることが知られている．このため，よい近似で初期ゆらぎはガウシア ン統計にしたがうと考えられているのである．

初期ゆらぎがガウシアン統計にしたがうならば，密度ゆらぎが線形領域にある 限り重力成長しても依然ガウシアン統計にしたがう．線形領域では空間の各点 におけるゆらぎは $\delta({\mbox{\boldmath $x$}},t) = D(t) \delta_{\rm init}({\mbox{\boldmath $x$}})$ で 与えられるので，分布関数(16.5.31)の形はそのまま成り立つ ことがわかる．ただし，ゆらぎの分散$\sigma^2$ は$D^2(t)$ に比例して時間変化 する．