ロバートソン・ウォーカー計量に対するアインシュタイン方程式

スケール因子を除いたRW計量の空間部の３次元計量を $\gamma_{ij}$ とすると， RW計量は

$$ds^2 = -c^2 dt^2 + a^2(t) \gamma_{ij} dx^i dx^j$$ (C.1.1)

とかける．ここで，$x^0 = ct$ , $x^1 = r$ , $x^2 = \theta$ , $x^3 = \phi$ という座標をとってあるとすると，

$$\gamma_{ij} dx^i dx^j = \frac{dr^2}{1 - K r^2} + r^2 \left(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2\right)$$ (C.1.2)

であるが，この３次元計量は行列表示で

$$(\gamma_{ij}) = \left( \begin{array}{ccc} \displaystyle \frac{1}{... ...^2} & 0 0 & 0 & \displaystyle \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \end{array} \right)$$ (C.1.3)

であり，この記法で４次元計量は

$$(g_{\mu\nu}) = \left[ \begin{array}{cc} - 1 & 0 0 & a^2 (\gamm... ...cc} - 1 & 0 0 & \displaystyle \frac{1}{a^2}(\gamma^{ij}) \end{array} \right]$$ (C.1.4)

である．

このように計量を時間部分と空間部分に分けることにより，クリストッフェル 記号は比較的容易に計算できて，

$${\mit\Gamma}^0_{00} = {\mit\Gamma}^0_{0i} = {\mit\Gamma}^0_{i0} = {\mit\Gamma}^i_{00} = 0,$$

$${\mit\Gamma}^0_{ij} = \frac{a \dot{a}}{c} \gamma_{ij}, \qquad {\mit\Gamma}^i_{0j} = {\mit\Gamma}^i_{j0} = \frac{\dot{a}}{ca} {\delta^i}_j,$$ (C.1.5)

$${\mit\Gamma}^i_{jk} = \frac12 \gamma^{il} (\gamma_{lk,j} + \gamma_{jl,k} - \gamma_{jk,l}) \equiv {}^{(3)}{\mit\Gamma}^i_{jk}$$

となる．同様に曲率テンソルを求めることができるが，対称性からは明らかで ない成分のみに限って結果を書き下せば，

$${R^0}_{00i} = {R^0}_{0ij} = {R^0}_{ijk} = {R^i}_{0jk} = {R^i}_{j0k} = 0,$$

$${R^0}_{i0j} = \frac{a \ddot{a}}{c^2} \gamma_{ij}, \qquad {R^i}_{00j} = \frac{\ddot{a}}{c^2 a} {\delta^i}_j,$$ (C.1.6)

$${R^i}_{jkl} = \left(\frac{\dot{a}^2}{c^2} + K\right) ({\delta^i}_k \gamma_{jl} -{\delta^i}_l \gamma_{jk})$$

さらにリッチテンソルは

$${R^0}_0 =\frac{3 \ddot{a}}{c^2 a}$$

$${R^i}_0 = {R^0}_i = 0,$$ (C.1.7)

$${R^i}_j = \frac{1}{c^2} \left[\frac{\ddot{a}}{a} + 2\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 + \frac{2c^2}{a^2} K \right] {\delta^i}_j$$

また，スカラー曲率は

$$R = \frac{6}{c^2} \left[\frac{\ddot{a}}{a} + \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 + \frac{c^2}{a^2} K \right]$$ (C.1.8)

となる．これらによりアインシュタインテンソルを求めれば，

$${G^0}_0 = - \frac{3}{c^2} \left[\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 + \frac{c^2 K}{a^2}\right],$$

$${G^i}_0 = {G^0}_i = 0,$$ (C.1.9)

$${G^i}_j = - \frac{1}{c^2} \left[2\frac{\ddot{a}}{a} + \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 + \frac{c^2 K}{a^2} \right] {\delta^i}_j$$

となる．アインシュタイン方程式

$${G^\mu}_\nu + {\mit\Lambda}{\delta^\mu}_\nu = \frac{8\pi G}{c^4} {T^\mu}_\nu$$ (C.1.10)

からただちにエネルギー運動量テンソルが

$$({T^\mu}_\nu) = \left( \begin{array}{cccc} - \rho & 0 & 0 & 0 0 & p & 0 & 0 0 & 0 & p & 0 0 & 0 & 0 & p \end{array} \right)$$ (C.1.11)

という形しかとり得ないことがわかる．これは理想流体のエネルギー運動量テ ンソルの形であり，$\rho$ はエネルギー密度に，$p$ は圧力に相当する．非等 方ストレスに寄与する粘性や熱伝導はいまの場合存在し得ない．これはわれわ れが宇宙に一様等方性を課した結果，エネルギーや運動量の空間方向への流れ が禁止されていることに対応している．すると，アインシュタイン方程式の時 間成分と空間成分は，次の２つの方程式となる：

$$\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3 c^2} \rho - \frac{c^2 K}{a^2} + \frac{c^2 {\mit\Lambda}}{3}$$ (C.1.12)

$$\frac{\ddot{a}}{a} = - \frac{4\pi G}{3 c^2} (\rho + 3p) + \frac{c^2 {\mit\Lambda}}{3}$$ (C.1.13)

これがRW計量を変数を力学的に規定するのアインシュタイン方程式であり，式 (3.1.12)を特にフリードマン方程式 (Friedmann equation) という．これらと独立ではないが，保存則 ${T^\mu}_{\nu;\mu} = 0$ の時間成分から，次の式が導かれる：

$$\dot{\rho} = -3 \frac{\dot{a}}{a} (\rho + p)$$ (C.1.14)

式(3.1.12)を微分して式(3.1.13)から$\ddot{a}$ を消去するこ とによってもこの式は導かれる．この式は，物理的に物質のエントロピーが保 存することを表している．これを見るため，宇宙の膨張とともに膨らんでいく 共動体積 $V \propto a^3$ を考え，その体積中のエントロピーを$S = sV$ とする． ここで$s$ は単位体積あたりのエントロピーである． この体積中のエネルギーは $U = \rho V$ で表される．さらにこの体積中に存在 する粒子種$a$ の粒子数を $N_a = n_a V$ とする．ここで$n_a$ は対応する粒子 の数密度である．この粒子の化学ポテンシャルを$\mu_a$ とする．すると，温 度を$T$ として，熱力学第一法則により

$$\frac{dS}{dt} = \frac{1}{T} \left( \frac{dU}{dt} + p\frac{dV}{dt}... ... 3\frac{\dot{a}}{a} (\rho + p) \right] - \sum_a \frac{\mu_a}{T} \frac{dN_a}{dt}$$ (C.1.15)

となるが，この式の左辺第一項は式(3.1.14)からゼロである．したがっ て，粒子数が保存して $dN_a/dt = 0$ が成り立っているときには共動体積中 のエントロピーが保存する．これは一様等方宇宙においては空間的に熱が流れ ることがありえないため，断熱的にふるまうからである． また，粒子数の保存しない反応が起きているとき でも，化学ポテンシャルが小さく $\mu_a/k_{\rm B} T \simeq 0$ が成り立っ ていればやはりエントロピーは近似的に保存することになる．実際の宇宙の進 化に表れてくる様々な粒子については $\vert\mu_a\vert/k_{\rm B} T \lower.5ex\hbox{$\; \buildrel < \over \sim \;$}10^{-8}$ 程度になっていて，化学ポテンシャルは無視することが可能である．したがっ て宇宙のエントロピーは保存すると考えてよい．

膨張宇宙では，ある共動体積に注目すると断熱膨張をしているため，必ずしも その中で粒子のエネルギーは保存しない．ネーターの定理によれば，物質のエ ネルギー保存則は時間についての系の並進対称性の現れである．いま，膨張宇 宙では物質にとってこの対称性がない．膨張宇宙ではエネルギーの代わりに， 物質のエントロピーが保存するのである．ただし，開いた系では一般に式 (3.1.15)左辺はエントロピーの微分ではない．この場合には後にみるよ うに，化学ポテンシャルが粒子のエネルギーに比べて無視できないような異常 に強い相互作用をする粒子が生成消滅するような宇宙では，一般にはエントロ ピーも保存しない．

さて，独立な方程式として，フリードマン方程式(3.1.12)と保存則 (3.1.14)の２つがある．曲率$K$ と宇宙定数 ${\mit\Lambda}$ が与えられれば， 未知変数は$a$ , $\rho$ , $p$ の３つであり，このままでは解けない．これは宇 宙の中の物質を指定していないからである．この他に物質の状態方程式 $p = p(\rho)$ があれば，それと保存則(3.1.15)からエネルギー密度とスケー ル因子の関係 $\rho = \rho(a)$ が求まり，さらにこれをフリードマン方程式 (3.1.12)へ入れれば，スケール因子の時間変化$a = a(t)$ が求められ ることになる．ここで１階微分方程式を２度解くことになるので，境界条件が ２つ必要である．これは現在の変数の値 $\rho_0 \equiv \rho(t_0)$ , $a_0 = a(t_0)$ とすればよいが，スケール因子には規格化$a_0 = 1$ を採用してあるの で，$\rho_0$ のみ指定すればよいことになる．これと曲率$K$ と宇宙定数 ${\mit\Lambda}$ の３つを与えれば一様等方時空の進化が一意的に定まることになる．