有限変数のキュムラント母関数

キュムラント展開定理が非常に有用なのは，次に見るように，それが，モーメ ントとキュムラントの母関数の間の関係を与えるからである．ランダム変数が 一変数$\phi$ の場合，モーメント $\left\langle \phi^N \right\rangle$ の母関数は次のように定義さ れる：

$$Z(J) \equiv \sum_{N=0}^\infty \frac{(-J)^N}{N!} \left\langle \phi... ...\rangle = \left\langle e^{-J\phi} \right\rangle = \int d\phi P(\phi) e^{-J\phi}$$ (O.3.53)

ここで，$P(\phi)$ は$\phi$ の確率分布関数である．つまり，この母関数は確 率分布関数のラプラス変換である．任意の次数のモーメントはこの母関数を微 分することにより得られる：

$$\left\langle \phi^N \right\rangle = (-1)^N \left.\frac{\partial^N Z}{\partial J^N}\right\vert _{J=0}$$ (O.3.54)

式(15.3.48)において，$X=-J\phi$ とおけば，

$$\ln Z(J) = \sum_{N=1}^\infty \frac{(-J)^N}{N!}\left\langle \phi^N \right\rangle_{\rm c}$$ (O.3.55)

であるから，これはキュムラントの母関数であることがわかる：

$$\left\langle \phi^N \right\rangle_{\rm c} = (-1)^N \left.\frac{\partial^N \ln Z}{\partial J^N}\right\vert _{J=0}$$ (O.3.56)

すなわち，キュムラント展開定理は，モーメントの母関数の対数はキュムラン トの母関数であるということを意味しているのである．

ランダム変数$\phi$ の統計的情報は確率分布関数にすべて含まれているので， そのラプラス変換であるモーメント母関数$Z(J)$ にもやはり統計的情報がすべ て含まれている．当然，母関数を解析接続した$Z(iJ)$ は$P(\phi)$ のフーリエ 変換である．キュムラントがすべて与えられれば、式(15.3.55)からモー メント母関数が決定するので、統計的情報が完全に定まることになる。つまり、 キュムラントの全体は統計的情報をすべて含んでいるのである。

ランダム変数の数が複数個ある多変数の場合への拡張は容易である．$p$ 種類 のランダム変数$\phi_k$ , $(k=1,\ldots,p)$ について，モーメント母関数は 次式で定義される：

$$Z\left(J_1,J_2,\ldots,J_p\right) = \left\langle \exp\left(-\sum_{k=1}^p J_k \phi_k \right) \right\rangle$$

$$\qquad\qquad = \sum_{N=0}^\infty \frac{(-1)^N}{N!} \sum_{k_1,k_2,... ...}\cdots J_{k_N} \left\langle \phi_{k_1}\phi_{k_2}\cdots\phi_{k_N} \right\rangle$$ (O.3.57)

したがって，多変数のモーメントは次のようになる：

$$\left\langle \phi_{k_1}\phi_{k_2}\cdots\phi_{k_N} \right\rangle =... ...k_1}\partial J_{k_2}\cdots\partial J_{k_N}} \right\vert _{J_1=J_2=\cdots=J_p=0}$$ (O.3.58)

式(15.3.48)において， $X=-\sum_k J_k \phi_k$ とおけば，

$$\ln Z(J_1,J_2,\ldots,J_p) = \sum_{N=1}^\infty \frac{(-1)^N}{N!} \... ...k_N} \left\langle \phi_{k_1} \phi_{k_2} \cdots \phi_{k_N} \right\rangle_{\rm c}$$ (O.3.59)

また，

$$\left\langle \phi_{k_1} \phi_{k_2} \cdots \phi_{k_N} \right\rangl... ...k_1}\partial J_{k_2}\cdots\partial J_{k_N}} \right\vert _{J_1=J_2=\cdots=J_p=0}$$ (O.3.60)

が導かれる．この場合もやはりモーメントの母関数の対数はキュムラントの母 関数である．