キュムラント展開定理

キュムラントは式(15.2.32)-(15.2.35)のように，モーメン トからいちいち再帰的に定義されているが，これらをもっと直接的に関係づけ る強力な定理がある．それはキュムラント展開定理(cumulant expansion theorem)，あるいは結合クラスター定理と呼ばれるものである．この 定理によると，一般にランダム変数$X$ について，次の等式が成り立つ:

$$\ln\left\langle e^X \right\rangle = \sum_{N=1}^\infty \frac{1}{N!... ...gle X^N \right\rangle_{\rm c} \equiv \left\langle e^X \right\rangle_{\rm c} - 1$$ (O.3.48)

証明は次の通りである．まず，式(15.2.36)から，一つの変数$X$ につ いての$N$ 次のモーメントをキュムラントで展開すると次のようになる：

$$\left\langle X^N \right\rangle = \sum_{\rm 組分け}\prod_{\rm 組(\alpha)} \left\langle X^{n_\alpha} \right\rangle_{\rm c}$$ (O.3.49)

ここで，$N$ 個のあらゆる可能な組分けについて和をとり，ある組分けについ て，組$\alpha$ の要素数は$n_\alpha$ である．ここで，ある固定された組分け に対して，要素数$n_\alpha$ がちょうど$j$ になるような組の数を$m_j$ としよ う．このとき当然， $\sum_j j m_j = N$ である．すると，式(15.3.49) の右辺の各項は，数の組 $(m_1,m_2,\cdots)$ が同じになる組分けについて，全 く同じ形となる．そこで，この数の組 $(m_1,m_2,\cdots)$ が同じになる組分け の数，すなわち縮退数を $n(m_1,m_2,\cdots)$ と表すことにすると，式 (15.3.49)は次の形となる：

$$\left\langle X^N \right\rangle = \sum_{m_1}^\infty \sum_{m_2}^\in... ...\right\rangle_{\rm c}^{m_2} \left\langle X^3 \right\rangle_{\rm c}^{m_3} \cdots$$ (O.3.50)

ここで， $\delta^{\rm C}$ はクロネッカーデルタであり，両整数が等しいとき のみ1で，そうでなければゼロを与える記号である．また，縮退数 $n(m_1,m_2,\cdots)$ は，$N$ 個の要素を $m_1,2m_2,3m_3,\ldots$ 個ずつの組に 分けて，その各々の組の$j m_j$ 個の要素をさらに$j$ 個ずつ$m_j$ 個の組に分 けるやり方の数であるから，

$$n(m_1,m_2,\cdots) = \frac{N!}{\prod_j (jm_j)!} \times \prod_j \frac{(jm_j)!}{m_j! (j!)^{m_j}} = \frac{N!}{\prod_j m_j! (j!)^{m_j}}$$ (O.3.51)

と求まる．すると，式(15.3.50)から，

$$\left\langle e^X \right\rangle = \sum_{N=0}^\infty \frac{1}{N!}\l... ...} = \exp\left(\sum_j \frac{1}{j!} \left\langle X^j \right\rangle_{\rm c}\right)$$ (O.3.52)

となり，これは式(15.3.48)に他ならない．これによって，キュムラ ント展開定理が証明された．