高次相関関数の階層モデル

銀河分布について，高次相関関数を2点相関関数で表されるとしてモデル化さ れる場合がある．特に，$N$ 点相関関数が$N-1$ 個の2点相関関数の積を組み合 わせたもので表されるようなモデルをを階層モデル (Hierarchical model)と呼ぶ．この場合，対称性からその形はある程度決まるが，未定の定 数が含まれることになる．例えば，3点相関関数は

$$\zeta_{\rm g123} = Q \left[\xi_{\rm g12}\xi_{\rm g23} + \xi_{\rm g23}\xi_{\rm g31} + \xi_{\rm g31}\xi_{\rm g12} \right]$$ (O.2.29)

と表される．ここで，$Q$ は未定の定数であり，モデルパラメータとなる．ま た，4点相関関数は

$$\eta_{\rm g1234} = R_a \left[\xi_{\rm g12}\xi_{\rm g23}\xi_{\rm g... ...ht] + R_b \left[\xi_{\rm g12}\xi_{\rm g13}\xi_{\rm g14} + {\rm sim.}(4) \right]$$ (O.2.30)

となる．ここで， $+ {\rm sim.}(n)$ は直前の項を添字について対称に置換し たものを足すことを表して略記したもので，直前の項を含めて$n$ 個の項があ ることを示している．また，$R_a$ , $R_b$ はモデルパラメータである．一般の $N$ 点相関関数 $\xi^{(N)}_{\rm g12\cdots N}$ について形式的に表せば，

$$\xi^{(N)}_{\rm g12\cdots N} = \sum_{\rm tree グラフ(a)} Q^{\rm (a)}_{N} \sum_{\rm ラベルづけ} \prod_{\rm 辺(AB)} \xi_{\rm gAB}$$ (O.2.31)

と書ける．ここで，最初の和記号は，$N$ 点を可能な全てのtreeグラフ，すな わち，ループを作らないように$N$ 点を結ぶ方法について和を取ることを表す． treeグラフの辺の数は必ず$N-1$ となる．また，次の和記号はそのtreeグラフ の点のラベルを付け変えたものについて和を取ることを表す．次の積記号は， 点を結ぶ辺について対応する2点相関関数を掛け合わせることを表す．

高次の相関関数は2点相関関数とは統計的に独立なものであるから，この相関 関数の階層モデルはもちろん一般的に成り立つものではない．観測的に銀河分 布については近似的に成り立つことが知られているが，より精密なレベルでは， このモデルからの破れがあることも明らかになっている．