天体分布の高次相関関数

銀河の相関関数 $\xi_{\rm g}(r)$ は天体分布の分布を特徴づける一つの量であ るが，この中に分布の統計的情報がすべて含まれているわけではない．銀河の 相関関数は2つの微小体積中に同時に銀河が存在する確率から定義することが できた．その意味で，これは2点相関関数とも呼ばれる．これを拡張して，3つ の微小体積 $\delta V_1$ , $\delta V_2$ , $\delta V_3$ に同時に銀河が存在す る確率 $\delta P_{123}$ から銀河の3点相関関数 $\zeta_{\rm g}$ が次のように 定義される：

$$\delta P_{123} = \bar{n}^3 \delta V_1 \delta V_2 \delta V_3 \left... ... g}(r_{13}) + \xi_{\rm g}(r_{23}) + \zeta_{\rm g}(r_{12},r_{13},r_{23}) \right]$$ (O.2.27)

この定義において，3点相関関数 $\zeta_{\rm g}$ 以外のものが足されている理 由は以下の通りである．すなわち，もし3点がお互いに無限に離れていればこ の確率は第1項のみとなる．また，点3が無限の彼方にある場合には点1と点2の 2点相関関数によりこの確率が定まり，第2項までで与えられる．同様にどれか 1点が無限の彼方にある場合は第4項まででこの確率が与えられる．したがって， 3点がお互いに影響し合う場合にはじめて3点相関関数が効果を発揮するように 定義されていることがわかるであろう．

より高次の相関関数も同様に定義される．4点相関関数 $\eta_{\rm g}$ は4つの 微小体積中に銀河が存在する確率により定義される：

$$\delta P_{1234} = \bar{n}^4 \delta V_1 \delta V_2 \delta V_3 \del... ...rm g13} + \xi_{\rm g14} + \xi_{\rm g23} + \xi_{\rm g24} + \xi_{\rm g34} \right.$$

$$\quad\left. +\; \xi_{\rm g12} \xi_{\rm g34} + \xi_{\rm g13} \xi_{... ...eta_{\rm g124} + \zeta_{\rm g134} + \zeta_{\rm g234} + \eta_{\rm g1234} \right]$$ (O.2.28)

ここで， $\xi_{\rm g12} = \xi_{\rm g}(r_{12})$ などのように略記した． ここで，多数の項は4点の部分集合のあらゆる可能な取り方に対応している．

このように，多点での存在確率をあらゆる可能な部分集合の取り方に対応した 相関関数で展開することを，クラスター展開 (cluster expansion)と呼 ぶ．2点{1,2} の可能な部分集合の取り方は{{1},{2}}, {{1,2}} であり，2点相関関数の定義式(15.1.4)の2項に対応する．3点 {1,2,3}の展開は{{1},{2},{3}}, {{1,2},{3}}, {{1,3},{2}}, {{2,3},{1}}, {{1,2,3}}となり，式 (15.2.27)の各項に対応する．4点相関関数の場合，あるいはより高次 の場合も同様である．