天体分布の相関関数

観測量である銀河などの天体の空間分布は理論的に求められる密度ゆらぎと関 係しているが，前者が空間的な点の分布であるのに対して，後者は連続的な場 の分布である．そこで，相関関数などの統計量について，これらの間の関係を 知る必要がある．そこで，まず天体分布の相関関数を観測に対応させて定義す る．

ここでは，銀河分布の相関関数を例にとって説明する．まずある銀河に着目し， その銀河から距離$r$ だけ離れた微小体積$\delta V$ の中に他の銀河を見つけ る確率$\delta P$ を考える．これはもし分布が完全にランダムなポアソン分布 をしているならば，銀河の平均数密度を$\bar{n}$ として，

$$\delta P = \bar{n} \delta V$$ (O.1.1)

で与えられる．実際にはクラスタリングがあるため，ある銀河のそばには平均 的に他の銀河がより多く存在したりする．そのため，この確率は式 (15.1.1)からずれることになる．そここでこのずれを考慮したときの 確率を

$$\delta P = \bar{n} \delta V \left[1 + \xi_{\rm g}(r)\right]$$ (O.1.2)

とおくことができる．ここで， $\xi_{\rm g}(r)$ はランダムな分布からのず れを表すもので，これが銀河の相関関数(correlation function)である． 密度分布の相関関数と区別するため，銀河と銀河の相関という意味を表す添字 ggをつけてある．いま，分布の統計的性質は宇宙の場所や方向によらないと仮 定すると，この相関関数は物理的距離$r$ のみの関数になる^O1．これはスケール$r$ のクラスタリングの程度 を表していることがわかるであろう．ある距離$r$ における相関関数が正であ れば，ある銀河のまわりの距離$r$ のスケールでは平均的にランダムな場合に 期待されるよりも多い数の銀河が存在する．これは正の相関を持つ場合である． 逆に相関関数が負であれば，より少ない銀河しか存在しない．これは負の相関 を持つ場合である．

銀河の相関関数はまた$r$ だけ離れた2点においた微小体積 $\delta V_1$ , $\delta V_2$ の中に銀河が同時に入る確率 $\delta P_{12}$ からも求められる． 上で考えた確率$\delta P$ は $\delta V_1$ に銀河があるときに $\delta V_2$ に 銀河が入る条件付き確率 $\delta P_{2\vert 1}$ であり，これは

$$\delta P_{2\vert 1} = \bar{n} \delta V_2 \left[1 + \xi_{\rm g}(r)\right]$$ (O.1.3)

である．ここで，条件なしで $\delta V_1$ に銀河が入る確率は $\delta P_1 = \bar{n} \delta V_1$ であるから，確率の伝播規則より，

$$\delta P_{12} = \delta P_1\cdot \delta P_{2\vert 1} = \bar{n}^2 \delta V_1 \delta V_2 \left[1 + \xi_{\rm g}(r)\right]$$ (O.1.4)

となる．

銀河の3次元的空間分布を調べる銀河サーベイによって，我々の宇宙の銀河な どの相関関数が得られている．その結果，相関関数はよい近似で巾的なふるま いをすることがわかっている．銀河，銀河団，および超銀河団についての相関 関数をそれぞれ $\xi_{\rm g}$ , $\xi_{\rm cc}$ , $\xi_{\rm ss}$ とすると， 観測的に次のようになることが知られている：

$$\xi_{\rm g} = \left(\frac{r}{5.4 {\hbox {$h^{-1}$}{\rm Mpc}} }\right)^{-1.8}, \quad (r \lower.5ex\hbox{$\; \buildrel < \over \sim \;$}20 {\hbox {$h^{-1}$}{\rm Mpc}} )$$ (O.1.5)

$$\xi_{\rm cc} = \left(\frac{r}{20 {\hbox {$h^{-1}$}{\rm Mpc}} }\right)^{-1.8}, \quad (r \lower.5ex\hbox{$\; \buildrel < \over \sim \;$}200 {\hbox {$h^{-1}$}{\rm Mpc}} )$$ (O.1.6)

$$\xi_{\rm ss} = \left(\frac{r}{50 {\hbox {$h^{-1}$}{\rm Mpc}} }\right)^{-1.8}, \quad (r \lower.5ex\hbox{$\; \buildrel < \over \sim \;$}200 {\hbox {$h^{-1}$}{\rm Mpc}} )$$ (O.1.7)

これをみると，銀河団や超銀河団も銀河と同じ巾の値を持っていることが特徴 的である．また，相関関数がちょうど1になる$r$ の値を相関距離という．相関 距離は銀河，銀河団，超銀河団，となるにつれて増えていることがわかる．大 きな距離では相関関数は必ず負となる場所があるので，巾的なふるまいはずっ と続くわけではないが，かなり大きなスケールまで単純なふるまいをしている ことがわかる．

これら相関関数のふるまいは構造形成の理論が定量的に説明すべき観測結果で ある．宇宙モデルによって，理論的に導かれるこれらの相関関数のふるまいは 大幅に異なるので，これらの相関関数を定量的に再現できる理論があるかどう かを探すことは，観測的宇宙論の主要な手法の一つである．

Footnotes

...のみの関数になる^O1

一般に 分布が統計的に非一様であったり，非等方であったりすると，相関関数は方向 や絶対的な場所の関数となる．