質量を持つニュートリノ

質量を持っているニュートリノも無衝突ボルツマン方程式に従う．自由運動が 大きいダークマターはホットダークマター(hot dark matter)と呼ばれるが， 無視できない質量を持つニュートリノはその範疇に入る．そこで，ここではホッ トダークマターを質量を持つニュートリノと同一視し，添字 `h' を使うこ とにする．

非摂動ボルツマン方程式はゼロ質量の場合と同様，

$${\bar{f}_{\rm h}}'(q,\tau) = 0$$ (L.4.131)

に従い，やはり $\bar{f}_{\rm h}$ は時間的に一定となる．エネルギー 密度と圧力は非摂動部について，

$$\bar{\rho}_{\rm h} = \frac{c}{a^4} \int \frac{d^3q}{(2\pi\hbar)^3} \sqrt{q^2 + {m_\nu}^2 c^2 a^2} \bar{f}_{\rm h}$$ (L.4.132)

$$\bar{p}_{\rm h} = \frac{c}{3 a^4} \int \frac{d^3q}{(2\pi\hbar)^3} \frac{q^2}{\sqrt{q^2 + {m_\nu}^2 c^2 a^2}} \bar{f}_{\rm h}$$ (L.4.133)

で与えられる．さらに摂動ボルツマン方程式(10.8.291)は

$${\delta f^{\rm (GI)}_{\rm h}}' + \frac{i q k \mu}{\sqrt{q^2 + {m_... ...mit\Phi}+ {\mit\Psi}' \right) q \frac{\partial \bar{f}_{\rm h}}{\partial q} = 0$$ (L.4.134)

となる．ここで，質量ゼロの場合と同様に $\mu = {\mbox{\boldmath $k$}}\cdot{\mbox{\boldmath $n$}}/k = \widehat{{\mbox{\boldmath $k$}}}\cdot\widehat{{\mbox{\boldmath $q$}}}$ である．また摂動量についての巨 視的変数は

$$\delta\rho^{\rm (GI)}_{\rm h} = \frac{c}{a^4} \int \frac{d^3q}{(2\pi\hbar)^3} \sqrt{q^2 + {m_\nu}^2 c^2 a^2} \delta f^{\rm (GI)}_{\rm h}$$ (L.4.135)

$$\delta p^{\rm (GI)}_{\rm h} = \frac{c}{3 a^4} \int \frac{d^3q}{(2... ...hbar)^3} \frac{q^2}{\sqrt{q^2 + {m_\nu}^2 c^2 a^2}} \delta f^{\rm (GI)}_{\rm h}$$ (L.4.136)

$$v^{\rm (GI)}_{\rm h} = - \frac{i}{k} \frac{c}{(\bar{\rho}_{\rm h}... ...h})a^4} \int \frac{d^3q}{(2\pi\hbar)^3} q P_1(\mu) \delta f^{(\rm (GI)}_{\rm h}$$ (L.4.137)

$${\mit\Pi}^{\rm (S)}_{\rm h} = - \frac{1}{k^2} \frac{c}{\bar{p}_{\... ...\frac{q^2}{\sqrt{q^2 + {m_\nu}^2 c^2 a^2}} P_2(\mu) \delta f^{\rm (GI)}_{\rm h}$$ (L.4.138)

となる．

質量ゼロの場合と異なり，上の巨視的変数の式は$q$ 積分が共通ではないので， 先に積分して簡単化することはできない．代わりに摂動分配関数と非摂動分配 関数の比をそのままルジャンドル展開する：

$$\frac{\delta f^{\rm (GI)}(q,{\mbox{\boldmath$n$}},{\mbox{\boldmat... ...l=0}^\infty (-i)^l (2l+1) F_{{\rm h} l}(q,{\mbox{\boldmath$k$}},\tau) P_l(\mu)$$ (L.4.139)

す ると式(12.4.135)-(12.4.138)は

$$\delta\rho^{\rm (GI)}_{\rm h} = \frac{c}{a^4} \int \frac{q^2dq}{2\pi^2\hbar^3} \sqrt{q^2 + {m_\nu}^2 c^2 a^2} \bar{f}_{\rm h} F_{{\rm h} 0}$$ (L.4.140)

$$\delta p^{\rm (GI)}_{\rm h} = \frac{c}{3a^4} \int \frac{q^2dq}{2\... ...ar^3} \frac{q^2}{\sqrt{q^2 + {m_\nu}^2 c^2 a^2}} \bar{f}_{\rm h} F_{{\rm h} 0}$$ (L.4.141)

$$v^{\rm (GI)}_{\rm h} = -\frac{1}{k} \frac{c}{(\bar{\rho}_{\rm h} ... ..._{\rm h})a^4} \int \frac{q^2dq}{2\pi^2\hbar^3} q \bar{f}_{\rm h} F_{{\rm h} 1}$$ (L.4.142)

$${\mit\Pi}^{\rm (S)}_{\rm h} = \frac{1}{k^2} \frac{c}{\bar{p}_{\rm... ...ar^3} \frac{q^2}{\sqrt{q^2 + {m_\nu}^2 c^2 a^2}} \bar{f}_{\rm h} F_{{\rm h} 2}$$ (L.4.143)

と表される．質量なしの場合と同様に計算すれば，ボルツマン方程式は展開係 数に対する次の方程式系となる：

$${F_{{\rm h} 0}}' + \frac{kq}{\sqrt{q^2 + {m_\nu}^2 c^2 a^2}} F_{... ... h} 1} - {\mit\Psi}' \frac{\partial \ln \bar{f}_{\rm h}}{\partial \ln q} = 0$$ (L.4.144)

$${F_{{\rm h} 1}}' - \frac{kq}{3\sqrt{q^2 + {m_\nu}^2 c^2 a^2}} \l... ... a^2}}{3q} {\mit\Phi} \frac{\partial \ln \bar{f}_{\rm h}}{\partial \ln q} = 0$$ (L.4.145)

$${F_{{\rm h} l}}' - \frac{kq}{(2l+1)\sqrt{q^2 + {m_\nu}^2 c^2 a^2... ...t[ l F_{{\rm h} (l-1)} - (l+1) F_{{\rm h} (l+1)}\right] = 0, \qquad (l\geq 2)$$ (L.4.146)

この方程式も無限の階層を持つ．固定された$q,k$ について十分大きな $l_{\rm max}$ により途中で打ち切って時間発展を求める．そしてなるべく多くの$q$ に ついて計算を繰り返し，その結果の内挿などによって数値的に式 (12.4.140)-(12.4.143)を積分すれば，巨視的な摂動量が求 められる．