超ホライズンスケールのゆらぎ

まず，放射優勢期から物質優勢期を通じて，ホライズンの外にとどまっている 超ホライズンスケールのゆらぎの振る舞いを調べる．これは， $\omega \ll 1$ の極限をとることで調べることができる．上に述べた通り，密度ゆらぎとエン トロピー摂動は独立な成長をする．超ホライズンスケールの密度ゆらぎの方程 式は，

$${\cal D}^2 \Delta + \left(\frac52 \frac{y}{y+1} - \frac{3y}{3y+4} - 1\right) {\cal D}\Delta$$

$$\qquad\qquad + \;\left(\frac{3y}{y+1} + \frac{y^2}{2(y+1)^2} - \frac{9y}{3y+4} - 2\right) \Delta = 0$$ (L.3.86)

となるが，この式は密度ゆらぎを $\Delta = y^{-1} (y+1)^{-1/2} u$ とおくこ とにより容易に積分できる形

$${\cal D}^2 u + \left(\frac32 \frac{y}{y+1} - \frac{y}{y+4/3} - 3 \right) {\cal D}u = 0$$ (L.3.87)

となり，あとは直線的に解析解を求めることができる．その結果，$\Delta$ に ついての独立な２解として，

$$\frac{y^2}{y+1} \left[ 1 + \frac29 \frac{3+\sqrt{y+1}}{\left(1 + \sqrt{y+1}\right)^3} \right], \quad \frac{1}{y\sqrt{y+1}}$$ (L.3.88)

が求められる．ここで，第一の解は放射優勢期$y \ll 1$ に$\sim y^2$ ，また， 物質優勢期$y \gg 1$ に$\sim y$ と振る舞い，いずれの時期でも成長 解になっている．これに対して第二の解は減衰解である．この成長解に対して， ポテンシャル

$${\mit\Phi}= - {\mit\Psi}= -\frac34 \frac{y+1}{\omega^2 y^2} \Delta$$ (L.3.89)

は放射優勢期の極限$y \ll 1$ ，物質優勢期の極限$y \gg 1$ でいずれも一定値 を取ることがわかるので，ポテンシャルの初期値に対応する，放射優勢期の一 定値を ${\mit\Phi}_0$ とおくことにより成長解の振幅が定まる．その結果と漸近形は，

$$\Delta = - \frac{6\omega^2}{5} {\mit\Phi}_0 \frac{y^2}{y+1} \... ...\frac65 \omega^2 {\mit\Phi}_0 y, & (y \gg 1) \end{array}\right.$$ (L.3.90)

$${\mit\Phi}= \frac{9 {\mit\Phi}_0}{10} \left[ 1 + \frac29 \fra... ...style \frac{9}{10} {\mit\Phi}_0, & (y \gg 1) \end{array}\right.$$ (L.3.91)

という形となる．一成分系の接続解で導かれた，ポテンシャルが等密度時をは さんで値が$9/10$ 倍になるという結果は等密度時前後の時間発展を正確に扱っ ても全く同じである．

次に，エントロピー摂動の方程式は

$${\cal D}^2 S + \left( \frac{y}{2(y+1)} - \frac{3y}{3y+4} \right) {\cal D}S = 0$$ (L.3.92)

となるが，これはすぐに積分できて，独立な２解は

$$1,\quad \arctan\sqrt{3(y+1)} - \sqrt{3}\arctan\sqrt{y+1}$$ (L.3.93)

である．第一の解は定数である．第二の解は放射優勢期の極限$y \ll 1$ ，物 質優勢期の極限$y \gg 1$ ともに一定値に近付いているが，その値は等密度時 をはさんで変化している．だが，エントロピー摂動が超ホライズンスケールで 変化するのは奇妙である．なぜなら，エントロピー摂動はエントロピーあたり のダークマターの粒子数のゆらぎであり，この量は熱伝導がない限り一定値を とるからである．超ホライズンスケールでの熱伝導はありえないので，エント ロピー摂動の変化は因果律に反する．このことは次のようにも理解できる．式 (12.3.67)から，

$${\cal D}S_{\rm mr} = \frac{2y^2 \omega^2}{y+1} {\cal H}v_{\rm mr}$$ (L.3.94)

となるので，超ホライズンスケールでのエントロピー摂動の時間変化は $v_{\rm mr} \gg {\cal H}^{-1}$ を要求するが，これは超ホライズンスケールの 運動をすることを意味するので，因果律に反することになる．したがって，因 果律を満たすエントロピー摂動は一定値をとる解のみである．この一定値を $S_0$ と書くことにする．

以上をまとめると，超ホライズンの一般のゆらぎはポテンシャル一定の密度ゆ らぎと，エントロピー摂動一定のゆらぎを独立なモードとする重ね合わせで表 される．ポテンシャルは等密度時をはさんで$9/10$ 倍になるが，エントロピー 摂動は等密度時前後でも同じ一定値を取り続ける．

等曲率ゆらぎの場合は，はじめは$\Delta=0$ でも，式(12.3.84)の左辺 のエントロピー摂動の項をソース項として，少しずつ成長する．超ホライズン スケールの極限を考えているので，$S$ が一定であって$\Delta$ の成長と関係 なければ，強制項を持つ線形微分方程式となるので，斉次方程式の解からグリー ン関数を作る方法によりこの式の解析解を求めることができる．その結果と漸 近形は

$$\Delta = \frac{4}{15} S_0 \omega^2 \frac{3y^2 + 22y + 24 + 4(3y +... ...) \displaystyle \frac{4}{15} S_0 \omega^2 y, & (y \gg 1) \end{array} \right.$$ (L.3.95)

となる．等曲率ゆらぎの超ホライズンスケールでは $\Delta \ll \vert S\vert$ である． このようにして，一定のエントロピーゆらぎから密度ゆらぎが生成されること になる．