ストークス・パラメータ

角振動数$\omega$ で伝播する単色平面電磁波を考える．電場はこの電磁波の進 行方向に垂直な平面内(偏光面)にのみ存在する．そこである点において電磁波 の進行方向を$+z$ 軸にとり，それに垂直な平面内に適当に$x$ , $y$ 軸をとる． その点における複素化した電場^I7の成分は一般に

$${\cal E}_x(t) = E_x e^{-i\omega t + i\delta_1}$$ (I.4.137)

$${\cal E}_y(t) = E_y e^{-i\omega t + i\delta_2}$$ (I.4.138)

で与えられる．ここで$E_{x,y}$ , $\delta_{1,2}$ は実の定数であり，それぞ れ振幅と位相を表している．実部を取ってみればわかるように，この電場は偏 光面において楕円軌道を描く．すなわち単色波は一般に楕円偏光をする．だが， 実際には完全な単色波というものはなく，少しずつ異なる$\omega$ を持つ平面 波の振幅$E_{x,y}$ や位相 $\delta_{1,2}$ が重ね合わさることにより，光が構 成されている．どんなに狭い$\omega$ の区間をもってきてもその中には無限の 平面波モードが含まれ得るから，ほとんど単色波と見なせる電磁波も，振幅と 位相の異なる平面波を足し合わせたものとなっている．ここで，振幅と位相が 完全にランダムなものであれば足し合わされた電磁波に偏光は発生しないが， お互いに相関を持っていれば偏光が残ることになる．そこで，$\omega$ のある 範囲に渡る平均を用いて2次元偏光面上の強度テンソル $T_{ij}\equiv \left\langle {\cal E}_i^* {\cal E}_j \right\rangle$ を定義すればこの量が一般の電磁波の偏光の 度合を表すことになる．ただし$i,j$ は偏光面上の２次元基底$x, y$ のどちらか をとる．この$2\times 2$ テンソルの成分はエルミート行列となるので，式 (8.3.72)のパウリ行列$\sigma_i$ および$2\times 2$ 単位行列 $\sigma_0$ によって一意的に展開できる：

$$T = \frac12 \left( I \sigma_0 + Q \sigma_3 + U \sigma_1 + V \sigm... ...2 \left( \begin{array}{cc} I + Q & U - iV U + iV & I - Q \end{array} \right)$$ (I.4.139)

ここで$I,Q,U,V$ は実の展開係数である．これらの量はストークス・パラメー タ (Stokes parameters)と呼ばれ，偏光の状態を記述するのに便利な量であ る．これらはもちろん強度テンソル$T_{ij}$ と同等の情報を持っている．

電場の平均値によって具体的にストークス・パラメータを表せば，

$$I = \left\langle \vert{\cal E}_x\vert^2 + \vert{\cal E}_y\vert^2 \right\rangle = \left\langle {E_x}^2 + {E_y}^2 \right\rangle$$ (I.4.140)

$$Q = \left\langle \vert{\cal E}_x\vert^2 - \vert{\cal E}_y\vert^2 \right\rangle = \left\langle {E_x}^2 - {E_y}^2 \right\rangle$$ (I.4.141)

$$U = \left\langle 2 {\rm Re}\left[ {\cal E}_x^* {\cal E}_y \right] \right\rangle = \left\langle 2 E_x E_y \cos(\delta_1 - \delta_2) \right\rangle$$ (I.4.142)

$$V = - \left\langle 2 {\rm Im}\left[ {\cal E}_x^* {\cal E}_y \right] \right\rangle = \left\langle 2 E_x E_y \sin(\delta_1 - \delta_2) \right\rangle$$ (I.4.143)

となる．したがって，変数$I$ は電磁波の強さに比例するパラメータである． その他のパラメータが非等方な偏光状態を表す．パラメータ$V$ がなければ $\delta_1$ と$\delta_2$ は等しいか$180^\circ$ ずれているので直線偏光とな る．したがって，パラメータ$V$ はが偏光の回転性をつくり出している．また， 下に見るようにパラメータ$Q$ , $U$ は直線偏光成分を定めている．これらストー クス・パラメータの間には $I^2 \geq Q^2 + U^2 + V^2$ の関係がある．ここで 等号が成り立つのは楕円偏光のときのみである．また，ストークス・パラメー タが単色平面波の重ね合わせに対する平均量で定義されていることから，加法 性を満たす．すなわち，電磁波を重ね合わせた場合のストークス・パラメータ は，重ね合わせる前の電磁波のストークス・パラメータを単に足し合わせたも ので与えられる．

ストークス・パラメータは偏光面の座標$x, y$ の取り方に依存している．いま， $x$ -$y$ 平面の座標軸を光の進行方向から見て時計回りに角度$\psi$ だけ回転 させると，回転行列

$$R = \left( \begin{array}{cc} \cos\psi & -\sin\psi \sin\psi & \cos\psi \end{array} \right)$$ (I.4.144)

により，

$$\left( \begin{array}{c} {\cal E}'_x {\cal E}'_y \end{array} \right) = R \left( \begin{array}{c} {\cal E}_x {\cal E}_y \end{array} \right)$$ (I.4.145)

となる．このとき式(9.4.139)の変換は $T' = R T R^{\rm T}$ であり， パウリ行列は $R\sigma_0 R^{\rm T} = \sigma_0$ , $R\sigma_2 R^{\rm T} = \sigma_2$ , $R (\sigma_3 \pm i \sigma_1) R^{\rm T} = e^{\mp 2i\psi}(\sigma_3 \pm i \sigma_1)$ と変換するから$I$ と$V$ は偏光面の回転 に対して不変であることがわかる．また， $\sigma_\pm \equiv \sigma_3 \mp i \sigma_1$ および $Q_\pm \equiv Q \pm i U$ を定義すると都合がよい．この とき式(9.4.139)は

$$T = \frac12 \left( I \sigma_0 + \frac12 Q_+ \sigma_+ + \frac12 Q_- \sigma_- + V \sigma_2 \right)$$ (I.4.146)

と書き直せるから，これらの新たな変数の変換は対角形

$$\left( \begin{array}{c} I' {Q_+}' {Q_-}' V' \end{array} ... ...array} \right) \left( \begin{array}{c} I Q_+ Q_- V \end{array} \right)$$ (I.4.147)

であることがわかる．これをもとのストークス・パラメータで表し直せば，

$$\left( \begin{array}{c} I' Q' U' V' \end{array} \right) ... ...end{array} \right) \left( \begin{array}{c} I Q U V \end{array} \right)$$ (I.4.148)

となる．こうしてストークス・パラメータ$I$ , $V$ は偏光面の座標に依らない 不変量であるが，$Q$ , $U$ は座標に依存する．これは$Q$ , $U$ が直線偏光に関 連したパラメータだからである．変換(9.4.148)から$Q^2 + U^2$ は不変 量である．また角度

$$\alpha = \frac12 \arctan\frac{U}{Q}$$ (I.4.149)

は $\alpha \rightarrow \alpha' = \alpha + \psi$ と変換するので，この角度 は座標に依らない固定した方向を決めている．つまり，物理的に観測可能な偏 光ベクトル ${\mbox{\boldmath $P$}}$ としていま考えている座標系で，

$${\mbox{\boldmath$P$}} = \sqrt{Q^2 + U^2} (\cos\alpha, \sin\alpha, 0)$$ (I.4.150)

を定義することができる．つまり，これは偏光面上にあって大きさが $(Q^2 + U^2)^{1/2}$ で極座標角が$\alpha$ となるベクトルである．直線偏光 $\delta_1 = \delta_2$ の場合には電場の向きが ${\mbox{\boldmath $P$}}$ の定義する直線上に あることが確かめられる．ここで$\alpha$ はその定義(9.4.149)によっ て$\alpha$ と $\alpha + \pi$ が区別されない．すなわち ${\mbox{\boldmath $P$}}$ はある方向 を定めるが，その逆向きの方向も区別しないものとする．これは偏光の概念に 沿っている．こうして，ストークス・パラメータの物理的な内容としては， $I$ , $V$ が上述のように光自体の強さと回転偏光成分の強さをそれぞれ表し， ${\mbox{\boldmath $P$}}$ が直線偏光成分の強さと向きを表している．

最後にストークス・パラメータのパリティを調べておく．偏光面上のパリティ 変換 $x \rightarrow -x$ もしくは $y \rightarrow -y$ のどちらかを考えれば

$$I\rightarrow I, \quad Q\rightarrow Q, \quad U\rightarrow -U, \quad V\rightarrow -V$$ (I.4.151)

と変換することがわかる．つまり，$I$ , $Q$ パリティは正，$U$ , $V$ のパリティ は負である．また，$Q_\pm$ は

$$Q_\pm \rightarrow Q_\mp$$ (I.4.152)

と変換し，パリティ変換に関してお互いに入れ替わる．

Footnotes

... その点における複素化した電場^I7

電磁波における複素化した電場とは， その実部が実際の電場を与えるようなものである．