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ザックス・ヴォルフェ効果
観測する質量なし粒子のエネルギーは天体などから放出されてから観測者に届
くまでに変化する.一様等方宇宙では,宇宙膨張による赤方偏移によって放出
されたときよりも小さくなる.さらに,宇宙の非一様性を考慮すると,ポテン
シャルの空間的,時間的変化によってもエネルギー変化を受ける.質量なし粒
子が放出された時のエネルギーを
, 観測者に届いたときのエネル
ギーを
とする.粒子が放出されたときのアフィンパラメータの値
を
, 粒子が観測されたときの値を
としよ
う.物質の4元速度を
とすると,
|
(M.2.18) |
と表される.ここで,空間的速度を
とすると,線形摂動項を含む4元速度
は式(10.4.113)で与えられ,
|
(M.2.19) |
である.したがって,線形摂動まででは,
|
(M.2.20) |
であるから,
|
(M.2.21) |
となる.
ここで,スケール因子
の引数であるコンフォーマル時間は摂動時空
において評価されているので,ゲージ依存している.このため例えば
を規格化によって
に置き換えてはならない.もし置き換えてし
まうとゲージ依存した規格化をすることになってしまい,その後の結果もゲー
ジ不変ではなくなってしまうからである.量
は式
(13.1.16)を積分することにより得ることができ,
|
(M.2.22) |
となる.右辺第二項の積分は摂動項のみであるから,積分経路が粒子の測地線
上であるという了解の下,線形近似の範囲で
と置き換えてよい.こうして結局
|
(M.2.23) |
となる.ここで,被積分関数は測地線上にあるために空間部分も
ととも
に変化して,表面積分とはならないことに注意.非摂動項は,粒子が放出され
た時のスケール因子に比例してエネルギーが減る効果を表す.これは以前導い
た,宇宙膨張による赤方偏移の効果である.次の項は視線方向の速度によるドッ
プラー効果によるエネルギーのずれである.ベクトル
は観測者の視線方向
を向いていて,観測者や粒子の放出源が共動座標に対してお互いに遠ざかるか
近づくかに応じてエネルギーの減少あるいは増加がおこる.次の項は,放出源
と観測者の場所での,ニュートンポテンシャルに対応する摂動
の値の差によっ
て生じるエネルギー変化であり,重力的赤方偏移に対応する.この部分の寄与
は通常ザックス・ヴォルフェ効果(Sachs-Wolfe effect)と呼ばれるものである.また,最後の粒子の軌跡に沿った積分は,計
量の時間変化が粒子のエネルギーに変化を及ぼすことを示しており,これ
は積分されたザックス・ヴォルフェ効果 (Integrated Sachs-Wolfe
effect)と呼ばれる
ものである.
このエネルギー変化の表式(13.2.23)をゲージ不変変数で書き表すこと
を考えよう.まず,時間を指定したスケール因子はゲージ依存するので,ゲー
ジ不変なスケール因子を作っておく.スケール因子のゲージ変換は
|
(M.2.24) |
であることから,次のゲージ不変なスケール因子を定義する:
|
(M.2.25) |
また,
摂動をテンソル型に分解して,式(13.1.13)を用いるこ
とにより,
となる.これらを表式(13.2.23)に代入して,ゲージ不変量
(10.4.86), (10.4.93), (10.4.94)(10.4.135),
(10.4.165)を用いて表すと,
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|
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(M.2.28) |
となる.左辺は観測可能量であり,この表式ではゲージ不変であることが明ら
かである.
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