ザックス・ヴォルフェ効果

観測する質量なし粒子のエネルギーは天体などから放出されてから観測者に届 くまでに変化する．一様等方宇宙では，宇宙膨張による赤方偏移によって放出 されたときよりも小さくなる．さらに，宇宙の非一様性を考慮すると，ポテン シャルの空間的，時間的変化によってもエネルギー変化を受ける．質量なし粒 子が放出された時のエネルギーを$E_{\rm e}$ , 観測者に届いたときのエネル ギーを$E_{\rm0}$ とする．粒子が放出されたときのアフィンパラメータの値 を $\lambda_{\rm e}$ , 粒子が観測されたときの値を $\lambda_{\rm0}$ としよ う．物質の4元速度を$u^\mu$ とすると，

$$\frac{E_{\rm0}}{E_{\rm e}} = \frac{-P^\mu\left(\lambda_{\rm0}\rig... ...right)\right\vert _{\rm0}} {\left.\left(P^\mu u_\mu\right)\right\vert _{\rm e}}$$ (M.2.18)

と表される．ここで，空間的速度を$v^i$ とすると，線形摂動項を含む4元速度 は式(10.4.113)で与えられ，

$$u_\mu = a\left(- 1 - A, v_i - B_i \right)$$ (M.2.19)

である．したがって，線形摂動まででは，

$$-P^\mu u_\mu = \frac{1}{a} + a \delta P^0 + \frac{1}{a}\left[A + n^i\left(v_i - B_i\right)\right]$$ (M.2.20)

であるから，

$$\frac{E_{\rm0}}{E_{\rm e}} = \frac{a(\tau_{\rm e})}{a(\tau_0)} \l... ...ert _{\rm e}^0 + \left. \left(A - n^i B_i\right) \right\vert _{\rm e}^0 \right]$$ (M.2.21)

となる． ここで，スケール因子$a(\tau)$ の引数であるコンフォーマル時間は摂動時空 において評価されているので，ゲージ依存している．このため例えば $a(\tau_0)$ を規格化によって$1$ に置き換えてはならない．もし置き換えてし まうとゲージ依存した規格化をすることになってしまい，その後の結果もゲー ジ不変ではなくなってしまうからである．量 $a^2 \delta P^0$ は式 (13.1.16)を積分することにより得ることができ，

$$\left. a^2 \delta P^0 \right\vert _{\rm e}^0 = \left.\left(-2A + ... ...mbda_0} \left[ A' - n^i {B_i}' - n^i n^j {C_{ij}}' \right] \frac{d\lambda}{a^2}$$ (M.2.22)

となる．右辺第二項の積分は摂動項のみであるから，積分経路が粒子の測地線 上であるという了解の下，線形近似の範囲で $d\lambda/a^2 \rightarrow d\tau$ と置き換えてよい．こうして結局

$$\frac{E_{\rm0}}{E_{\rm e}} = \frac{a(\tau_{\rm e})}{a(\tau_0)} \l... ... e}}^{\tau_0} \left[ A' - n^i {B_i}' - n^i n^j {C_{ij}}' \right] d\tau \right\}$$ (M.2.23)

となる．ここで，被積分関数は測地線上にあるために空間部分も$\tau$ ととも に変化して，表面積分とはならないことに注意．非摂動項は，粒子が放出され た時のスケール因子に比例してエネルギーが減る効果を表す．これは以前導い た，宇宙膨張による赤方偏移の効果である．次の項は視線方向の速度によるドッ プラー効果によるエネルギーのずれである．ベクトル$n^i$ は観測者の視線方向 を向いていて，観測者や粒子の放出源が共動座標に対してお互いに遠ざかるか 近づくかに応じてエネルギーの減少あるいは増加がおこる．次の項は，放出源 と観測者の場所での，ニュートンポテンシャルに対応する摂動$A$ の値の差によっ て生じるエネルギー変化であり，重力的赤方偏移に対応する．この部分の寄与 は通常ザックス・ヴォルフェ効果(Sachs-Wolfe effect)と呼ばれるものである．また，最後の粒子の軌跡に沿った積分は，計 量の時間変化が粒子のエネルギーに変化を及ぼすことを示しており，これ は積分されたザックス・ヴォルフェ効果 (Integrated Sachs-Wolfe effect)と呼ばれる ものである．

このエネルギー変化の表式(13.2.23)をゲージ不変変数で書き表すこと を考えよう．まず，時間を指定したスケール因子はゲージ依存するので，ゲー ジ不変なスケール因子を作っておく．スケール因子のゲージ変換は

$$a(\tau) \rightarrow a(\tilde{\tau}) = a(\tau) + a {\cal H} T$$ (M.2.24)

であることから，次のゲージ不変なスケール因子を定義する：

$$a^{\rm (GI)} \equiv a + a {\cal H} \left( B^{\rm (S)} + {C^{\rm (S)}}' \right)$$ (M.2.25)

また， 摂動をテンソル型に分解して，式(13.1.13)を用いるこ とにより，

$$n^i B_i = -a^2 \frac{d B^{\rm (S)}}{d\lambda} + {B^{\rm (S)}}' + n^i {B^{\rm (V)}}_i$$ (M.2.26)

$$n^i n^j C_{ij} = - a^2 \frac{d}{d\lambda} \left( n^i {C^{\rm (S)}}_{\vert i} + {C^{\rm (S)}}' + n^i {C^{\rm (V)}}_i \right)$$

$$\qquad\qquad\qquad +\, D + {C^{\rm (S)}}'' + n^i {{C^{\rm (V)}}_i}' + n^i n^j {C^{\rm (T)}}_{ij}$$ (M.2.27)

となる．これらを表式(13.2.23)に代入して，ゲージ不変量 (10.4.86), (10.4.93), (10.4.94)(10.4.135), (10.4.165)を用いて表すと，

$$\frac{E_0}{E_{\rm e}} = \frac{a^{\rm (GI)}(\tau_{\rm e})}{a^{\rm... ... + \psi_i\right) \right\vert _{\rm e}^0 - \left. \Phi \right\vert _{\rm e}^0$$

$$\qquad\qquad\qquad\qquad +\, \int_{\tau_{\rm e}}^{\tau_0} \lef... ...\Psi' - n^i {\psi_i}' - n^i n^j {{C^{\rm (T)}}_{ij}}' \right) d\tau \Biggr\}$$ (M.2.28)

となる．左辺は観測可能量であり，この表式ではゲージ不変であることが明ら かである．