ゆらぎのスムージング

長さの短いスケールにおける密度ゆらぎを無視して、あるスケール$R$ 程度よ りも長いスケールのゆらぎを取り出すことをゆらぎのスムージング、あるいは ゆらぎの粗視化という。このスムージングの仕方は一意的ではないが、次のよ うに密度ゆらぎをあるウィンドウ関数$W_R$ によって畳み込むことにより、ス ムージングされた密度ゆらぎ$\delta_R$ を定義する：

$$\delta_R({\mbox{\boldmath$x$}}) = \int d^3x' W_R({\mbox{\boldmath$x$}} - {\mbox{\boldmath$x$}}') \delta({\mbox{\boldmath$x$}}')$$ (O.4.79)

このウィンドウ関数 $W_R({\mbox{\boldmath $x$}})$ は $\vert{\mbox{\boldmath $x$}}\vert\lower.5ex\hbox{$\; \buildrel < \over \sim \;$}R$ 程度の領域に値を もつような関数で、 $\vert{\mbox{\boldmath $x$}}\vert$ が$R$ よりも十分大きなところでは実質的にゼ ロになるようなものである。また、次の規格化の条件を満たすものとする：

$$\int d^3x W_R({\mbox{\boldmath$x$}}) = 1$$ (O.4.80)

もっとも良く使われるウィンドウ関数の一例は、次の球対称トップハット型：

$$W_R({\mbox{\boldmath$x$}}) = \frac{3}{4\pi R^3} \Theta(\vert{\mbo... ... \vspace{0.1cm} 0, & \vert{\mbox{\boldmath$x$}}\vert > R \end{array} \right.$$ (O.4.81)

である。このウィンドウ関数によれば、もとの密度ゆらぎ$\delta_R$ をある点 のまわり半径$R$ 内を一様に平均した値が$\delta_R$ として返されることにな る。

また、次のガウシアン型も良く使われるウィンドウ関数の例である：

$$W_R({\mbox{\boldmath$x$}}) = \frac{e^{-\vert{\mbox{\scriptsize\boldmath$x$}}\vert^2/(2R^2)}}{(2\pi)^{3/2} R^3}$$ (O.4.82)

このように、スムージングされたゆらぎに対して、$\delta_R$ の値がどのよう に分布するかという、一点分布関数 $P(\delta_R)$ を考えてみよう。エルゴー ト仮説により、ある固定した点での分布を考えることと、いろいろな点での値 の分布を考えることは同じなので、原点 ${\mbox{\boldmath $x$}} = {\mbox{\boldmath $0$}}$ における統計分 布を考えればよい。この場合のモーメント母関数を$M(J)$ とすると、それは

$$M(J) = \left\langle e^{-J \delta_R} \right\rangle = \left\langle... ...dmath$x$}})\right] \right\rangle = Z\left[ J W_R(-{\mbox{\boldmath$x$}})\right]$$ (O.4.83)

となり、もとの密度ゆらぎの場のモーメント母汎関数$Z[J]$ で表されることが わかる。したがって、スムージングされたゆらぎの値のキュムラントは、

$$\left\langle {\delta_R}^N \right\rangle_{\rm c} = (-1)^N \left.\frac{\partial^N \ln M}{\partial J^N}\right\vert _{J=0}$$

$$= \int d^3x_1 \cdots d^3x_N W_R\left(-{\mbox{\boldmath$x$}}_1\right... ...t) \xi^{(N)}\left({\mbox{\boldmath$x$}}_1,\ldots,{\mbox{\boldmath$x$}}_N\right)$$ (O.4.84)

となる。つまり、$N$ 点相関関数をウィンドウ関数で平均したものに等しい。 これはもちろん、キュムラントの線形性から、式(15.4.79)からも直接 導ける。