天体分布のパワースペクトル

パワースペクトルについても同様に，離散的な点分布からどのように求められ るかを考えてみる．まず，銀河が ${\mbox{\boldmath $r$}}_a$ , $(a = 1,2,3,\ldots)$ という 場所にあるとする．このような離散的な分布のフーリエ変換は

$$\widetilde{n}({\mbox{\boldmath$k$}}) = \sum_a e^{-i{\mbox{\scriptsize\boldmath$k$}}\cdot{\mbox{\scriptsize\boldmath$r$}}_a}$$ (O.1.15)

であり，これが観測量に対応する．ここで，この観測量によってゆらぎに対応 する量を定義するため，上式の平均値が何か調べてみる．

そのために，観測されている空間全体の体積$V$ を微小体積に分けること により，式(15.1.15)は

$$\widetilde{n}({\mbox{\boldmath$k$}}) = \sum_i m_i e^{-i{\mbox{\scriptsize\boldmath$k$}}\cdot{\mbox{\scriptsize\boldmath$r$}}_i}$$ (O.1.16)

と表せる．ここで，$m_i$ は ${\mbox{\boldmath $r$}}_i$ にある微小体積 $\delta V_i$ の中に入 る銀河の数である．微小体積は十分小さく，$m_i =0, 1$ のみをとる．ここで は簡単のために，銀河は一様にサンプリングされているものと仮定し，銀河の 平均数密度$\bar{n}$ は空間的に一定とする．このとき，観測される体積の中で は1，外では0をとるウィンドウ関数$W$ を定義する：

$$W({\mbox{\boldmath$r$}}) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & （観測体積中） 0 & （観測体積外） \end{array} \right.$$ (O.1.17)

すると，式(15.1.16)の平均値は

$$\left\langle \widetilde{n}({\mbox{\boldmath$k$}}) \right\rangle =... ...\mbox{\scriptsize\boldmath$r$}}} = \bar{n} \widetilde{W}({\mbox{\boldmath$k$}})$$ (O.1.18)

である．ここで， $\widetilde{W}({\mbox{\boldmath $k$}})$ はウィンドウ関数のフーリエ変換 である．したがって，ゆらぎに対応する観測量は，

$$F({\mbox{\boldmath$k$}}) \equiv \frac{\widetilde{n}({\mbox{\boldmath$k$}})}{\bar{n}} - \widetilde{W}({\mbox{\boldmath$k$}})$$ (O.1.19)

である．これも観測量であり，ここから，銀河分布のパワースペクトルを次の ように定義する：

$$P_{\rm g}({\mbox{\boldmath$k$}}) \equiv V^{-1} \left\vert F({\mbox{\boldmath$k$}})\right\vert^2$$ (O.1.20)

こうして定義された離散的な分布についてのパワースペクトルが連続的な密度 分布のパワースペクトルとどのように結び付いているかを調べる．そのために まず，式(15.1.16)の絶対値の2乗の期待値を評価してみると，

$$\left\langle \left\vert\widetilde{n}({\mbox{\boldmath$k$}})\right\vert^2 \right\rangle = \sum_{i,j} \langle m_i m_j \rangle e^{-i{\mbox{\scriptsize\boldma... ...\cdot({\mbox{\scriptsize\boldmath$r$}}_i - {\mbox{\scriptsize\boldmath$r$}}_j)}$$

$$= \sum_i \langle {m_i}^2 \rangle + \alpha^2 \sum_{i \neq j} \langle... ...\cdot({\mbox{\scriptsize\boldmath$r$}}_i - {\mbox{\scriptsize\boldmath$r$}}_j)}$$

$$= \bar{n} V + \bar{n}^2 \int d^3r_1 d^3r_2 W({\mbox{\boldmath$r$}}_... ...\cdot({\mbox{\scriptsize\boldmath$r$}}_1 - {\mbox{\scriptsize\boldmath$r$}}_2)}$$

$$= \bar{n} V + \bar{n}^2 \left\vert\widetilde{W}({\mbox{\boldmath$k$... ...ft\vert\widetilde{W}({\mbox{\boldmath$k$}}-{\mbox{\boldmath$k$}}')\right\vert^2$$ (O.1.21)

となる．これと式(15.1.18)により，上で定義した離散的なパワースペ クトルの期待値は

$$\left\langle P_{\rm g}({\mbox{\boldmath$k$}})\right\rangle = V^{-1}\left\langle \left\vert F({\mbox{\boldmath$k$}})\right\vert^2 \right\rangle$$

$$= \frac{1}{V} \left[ \frac{\left\langle \left\vert\widetilde{n}({\m... ...bar{n}^2} - \left\vert\widetilde{W}({\mbox{\boldmath$k$}})\right\vert^2 \right]$$

$$= \frac{1}{V} \int \frac{d^3k'}{(2\pi)^3} P(k') \left\vert\widetild... ...({\mbox{\boldmath$k$}}-{\mbox{\boldmath$k$}}')\right\vert^2 + \frac{1}{\bar{n}}$$ (O.1.22)

となる．これが離散的な分布と連続的な分布のパワースペクトルを結ぶ基本的 な式である．左辺は仮想的な宇宙について平均されたアンサンブル平均なので， 実際には観測量そのものではない．実際の観測ではこれからのずれが生じるこ とになる．このようなずれをコズミックバリアンス(Cosmic variance) という．このような不定性を最小限に押えるために，実際の観測では， ${\mbox{\boldmath $k$}}$ の方向について平均をとり，さらに $k=\vert{\mbox{\boldmath $k$}}\vert$ をいくつかの領 域に分けて平均するということが行われる．これによりアンサンブル平均を行 うのに似た効果が加えることができる．

フェアサンプル仮説により，見ようとするゆらぎのスケールに比べて観測体積 が無限に広い極限 $k^{-1} \ll V^{1/3}$ では，観測的に決められる量 $P_{\rm gg}({\mbox{\boldmath $k$}})$ はアンサンブル平均をした式(15.1.22)に近付いて行く． ここで，観測体積が無限大の極限 $V\rightarrow\infty$ をとると，

$$\widetilde{W}({\mbox{\boldmath$k$}}) \rightarrow \int d^3r e^{-i{... ...dot{\mbox{\scriptsize\boldmath$r$}}} = (2\pi)^3 \delta^3({\mbox{\boldmath$k$}})$$ (O.1.23)

となり，さらに，

$$\left.(2\pi)^3 \delta^3({\mbox{\boldmath$k$}})\right\vert _{{\mbo... ...box{\scriptsize\boldmath$k$}}={\mbox{\scriptsize\boldmath$0$}}} = \int d^3r = V$$ (O.1.24)

に注意すると，

$$\left\vert\widetilde{W}({\mbox{\boldmath$k$}})\right\vert^2 \righ... ...^3({\mbox{\boldmath$k$}})\right]^2 = V (2\pi)^3 \delta^3({\mbox{\boldmath$k$}})$$ (O.1.25)

となる．体積無限大の極限 $V\rightarrow\infty$ では，式(15.1.20)で 定義した離散的な分布のパワースペクトルは観測体積が実質的にアンサンブル 平均をしたものに帰着することも考慮して，

$$P_{\rm g}({\mbox{\boldmath$k$}}) = P(k) + \frac{1}{\bar{n}}$$ (O.1.26)

となることがわかる．第2項は分布の離散性から来ていて，ショットノイズ項 である．この式はちょうど，式(15.1.14)のフーリエ変換になっている ことがわかる．

観測体積が十分大きくなければ，ウィンドウ関数のフーリエ変換はもはやデル タ関数ではなく，$k=0$ のまわりに有限の幅をもってぼやけた関数となる．こ こで，観測される離散的なパワースペクトルは式(15.1.22)のように 理論的な密度ゆらぎをウィンドウ関数によってフーリエ空間で畳み込んだもの となっている．いいかえれば，観測されるパワースペクトルは理論的なパワー スペクトルを3次元的にある固定した幅でならしたものになっている．ここで， 大スケールのゆらぎに対応する$k$ の絶対値の小さなモードは，波数空間にお ける体積が小さいため，完全にならされてしまう．このため，大スケールのゆ らぎは正確に求まらないことになる．これは，もともと，観測体積よりも大き なスケールのゆらぎを求めることができないことに対応している．