エントロピー摂動

多成分系において，背景場にエネルギー輸送がない場合，式(10.7.216)か ら音速とエントロピーのゆらぎの式(10.7.208), (10.7.209)は

$$(1 + w) \overline{\rho} {c_s}^2 = \sum_a (1 + w_a) \overline{\rho}_a {c_a}^2$$ (J.7.240)

$$\overline{p}\Gamma = \sum_a \overline{p_a} \Gamma_a + \frac{1}{2\... ...}_a (1 + w_a) \overline{\rho}_b (1 + w_b) \left({c_a}^2 - {c_b}^2\right) S_{ab}$$ (J.7.241)

となる．ここで，

$$S_{ab} = \frac{\delta_a}{1 + w_a} - \frac{\delta_b}{1 + w_b}$$ (J.7.242)

である．音速の異なる成分の混ざった系では，各成分のエントロピーゆらぎ $\Gamma_a$ に加えて，ゆらぎの差で表される量$S_{ab}$ が全体のエントロピー ゆらぎに寄与することになる．

成分間の相互作用のない場合にはエントロピーゆらぎに寄与する量$S_{ab}$ の 発展方程式は極めてシンプルである．実際，それは式(10.7.229) から容 易に導けて，

$${S_{ab}}' = -\triangle\left( v_a - v_b \right) - 3 {\cal H}\Gamma_{ab}$$ (J.7.243)

となる．ただし，

$$\Gamma_{ab} \equiv \frac{w_a \Gamma_a}{1 + w_a} - \frac{w_b \Gamma_b}{1 + w_b}$$ (J.7.244)

を用いた．速度の差$v_a - v_b$ はゲージ不変であり，式(10.7.244)はそ のままゲージ不変な式になっている．こうして，成分間の速度差 $v_{ab} \equiv v_a - v_b$ がエントロピー摂動の発展を決めていることがわかる．し たがって，速度差についての発展についての方程式を導いておくと便利である． 式(10.7.230)において，成分$a,b$ について差をとると，

$${v_{ab}}' + \left[ 1 - \frac32 \left({c_a}^2 + {c_b}^2\right) \ri... ...ac{\overline{\rho}_c (1 + w_c)}{\overline{\rho}(1+w)} \frac{v_{ac} + v_{bc}}{2}$$

$$\quad = - \frac{\left({c_a}^2 - {c_b}^2\right)\Delta}{1+w} - \fra... ...frac{\overline{\rho}_c (1+w_c)}{\overline{\rho}(1+w)} \frac{S_{ac} + S_{bc}}{2}$$

$$\qquad -\; \Gamma_{ab} - \frac23 (\triangle + 3K) \Pi_{ab}$$ (J.7.245)

という式が導ける．ここで，

$$\Pi_{ab} \equiv \frac{w_a \Pi_a}{1 + w_a} - \frac{w_b \Pi_b}{1 + w_b}$$ (J.7.246)

である．また，$\Delta$ は式(10.4.164)で与えられる全物質についてのバー ディーン変数である．式(10.7.246)の証明には，次の恒等式を用いるとよ い：

$$\frac{\delta_a}{1+w_a} = \frac{\delta}{1+w} + \sum_c \frac{\overline{\rho}_c(1+w_c)}{\overline{\rho}(1+w)} S_{ac}$$ (J.7.247)

$$v_a = v + \sum_c \frac{\overline{\rho}_c(1+w_c)}{\overline{\rho}(1+w)} v_{ac}$$ (J.7.248)

式(10.7.246)はそのままゲージ不変であることが明らかである．