ロバートソン・ウォーカー計量

空間の計量は一様等方空間の場合，時間に依存する定数倍を除いて式 (2.2.15)により決まってしまうので，ワイルの要請と宇宙原理を同時に満 たす計量は

$$ds^2 = -c^2 dt^2 + a^2(t) \left[ \frac{dr^2}{1 - K r^2} + r^2 \left(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2\right) \right]$$ (B.3.17)

となる．これをロバートソン・ウォーカー計量 (RW計量)と呼ぶ．この 計量は宇宙論において最も重要なものの一つである．空間のスケールを決める $a(t)$ はスケール因子(scale factor)というもので，空間の膨張や収縮を表わ すことになる．また，曲率$K$ は一般に時間変化をしてもよいが，その場合で も動径座標$r$ の再定義をすれば結局スケール因子の時間変化にくりこまれる ので，一般性を失なわずに$K$ は定数であるとしてよい．このときの定数とし て，現在時刻$t=t_0$ の曲率を採用すれば，現在時刻でのスケール因子は $a(t_0) = 1$ という規格化をもつことになる．以下ではこの規格化を用いるこ ととする．

上の形は球面の面積で定義される動径座標$r$ によって表示されるものである が，動径座標の定義を変えることにより，他の形にも書き 表わすことができる．まず，次の変数変換

$$\bar{r} = \frac{2r}{1 + \sqrt{1 - K r^2}}$$ (B.3.18)

により，ロバートソン・ウォーカー計量は

$$ds^2 = -c^2 dt^2 + \frac{a^2(t)}{\displaystyle\left(1 + \frac{K}{... ...t[ d\bar{r}^2 + \bar{r}^2 \left(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2\right) \right]$$ (B.3.19)

という形となる．この形から，RW計量は共形変換 (conformal transformation) $g_{\mu\nu}(x) \rightarrow \Omega(x)g_{\mu\nu}(x)$ により平坦な空間の計量と同じ形となるという 性質を持っていることがわかる．

スケール因子が$a=1$ のとき，実際の測地的距離$x$ は動径座標$r$ と

$$dx = \frac{dr}{\sqrt{1 - K r^2}}$$ (B.3.20)

の関係にあるので，これを積分して得られる関数を $r = {S_K}(x)$ とすると

$${S_K}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{{\rm sin... ...tyle \frac{\sin\left(\sqrt{K} x\right)}{\sqrt{K}} & (K > 0) \end{array} \right.$$ (B.3.21)

である．上の規格化ではこれは現在の宇宙での測地的距離を表している．した がってRW計量は

$$ds^2 = -c^2 dt^2 + a^2(t) \left[ dx^2 + {S_K}^2(x) \left(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2\right) \right]$$ (B.3.22)

という形にも表わすことができる．物質素片に固定された点は，原点からの測 地的距離がスケール因子に比例して増えていく．この座標$x$ は$a=1$ となると きの，実際の測地的距離である．これを共動距離(comoving distance)という．

さて，上で採用した $a(t_0) = 1$ とは異なる規格化もまた広く使われることが あるので，ここでコメントしておく．曲率がゼロでないとき，座標$r$ に曲率 $K$ の値による再定義 $r \rightarrow \vert K\vert^{-1/2} r$ を行なえば，

$$ds^2 = -c^2 dt^2 + R^2(t) \left[ \frac{dr^2}{1 - k r^2} + r^2 \left(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2\right) \right]$$ (B.3.23)

となる．ここで，

$$k = \left\{ \begin{array}{ll} -1 & (K < 0) 0 & (K = 0) 1 & ... ...l} \vert K\vert^{-1/2} a(t) & (K \neq 0) a(t) & (K = 0) \end{array} \right.,$$ (B.3.24)

である．曲率がゼロでない場合には$r$ は無次元化していて，曲率は離散的な 値，$0,\pm 1$ のみをとる．さらにスケール因子$R(t)$ は長さの次元を持つ． したがって単位系を再定義しない限り現在値を$1$ に規格化することができな い．それは $R(t_0) = \vert K\vert^{-1/2}$ となり，曲率のスケールはスケール因子の 現在値を通して入ってくることになる．このような規格化を用いる場合には注 意すべき事項である．