ボルツマン方程式

任意の座標系に取られたある時刻の空間の微小体積$dV$ を横切る粒子のうち， 運動量が $d{\mit\Pi}$ の範囲にあるものの数を$dN$ とする．微小体積 $dVd{\mit\Pi}$ 中に ある粒子4元流束は

$$dN^\mu = 2 c^2 P^\mu f(x,P) dV d{\mit\Pi}$$ (I.2.30)

となるが，粒子数$dN$ はこの4元流束の$n^\mu$ 方向の成分により与えられるの で，

$$dN = - c^{-1} n_\mu dN^\mu = 2c (- n_\mu P^\mu) f(x,P) dV d{\mit\Pi}$$ (I.2.31)

であることがわかる．すると，リュービルの定理から粒子の測地線に沿って の$dN$ の変化は

$$\delta(dN) = 2c\;\delta f\; (- n_\mu P^\mu) dV d{\mit\Pi}$$

$$= 2c \left( \frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{\partial f}{\partial x^\mu... ...artial f}{\partial P^\mu} \right) \delta\lambda\; (- n_\mu P^\mu) dV d{\mit\Pi}$$

$$= 2c \left( P^\mu \frac{\partial f}{\partial x^\mu} - {\mit\Gamma}^... ...artial f}{\partial P^\mu} \right) \delta\lambda\; (- n_\mu P^\mu) dV d{\mit\Pi}$$ (I.2.32)

となる．

粒子に重力以外の相互作用が働かない場合は微小体積 $dVd{\mit\Pi}$ 中の粒子の数 は粒子の測地線に沿って一定となる．このときには式(9.2.32)はゼロに なり，したがって，次の相対論的なリュービル方程式(Liouville equation)

$$P^\mu \frac{\partial f}{\partial x^\mu} - {\mit\Gamma}^\mu_{\nu\lambda} P^\nu P^\lambda \frac{\partial f}{\partial P^\mu} = 0$$ (I.2.33)

が成り立つ．この方程式はブラソフ方程式(Vlasov equation)あるいは 無衝突ボルツマン方程式(Collisionless Boltzmann equation)とも呼ば れる．ただしいま分布関数$f(x,P)$ にはすでに $P^2 + m^2 c^2 = 0$ を$P^0$ に ついて解いた関係 $P^0 = P^0(P^i)$ が代入されて$P^0$ には陽に依存しないも のと考えれば，上の式で $\partial f/\partial P^0$ はゼロである．左辺の$f$ に作用する演算子

$$L \equiv P^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu} - {\mit\Gamma}^\mu_{\nu\lambda} P^\nu P^\lambda \frac{\partial}{\partial P^\mu}$$ (I.2.34)

をリュービル演算子(Liouville operator)と呼ぶ．この記法でリュービ ル方程式は$L[f] = 0$ と表される．

粒子に重力以外の相互作用がある場合は$dN$ が消えず，位相空間素片中で粒子 が出入りすることになる．粒子の運動に沿ってアフィンパラメータが $\delta\lambda$ だけ変化する間の， $dVd{\mit\Pi}$ 中の粒子数が変化を

$$dN = C[f]\cdot 2c\;(- n_\mu P^\mu) dV d{\mit\Pi}\delta\lambda$$ (I.2.35)

とおく．この場合には，次の相対論的なボルツマン方程式(Boltzmann equation)が得られる：

$$P^\mu \frac{\partial f}{\partial x^\mu} - {\mit\Gamma}^\mu_{\nu\lambda} P^\nu P^\lambda \frac{\partial f}{\partial P^\mu} = C[f]$$ (I.2.36)

ここで，$C[f]$ は衝突項と呼ばれ，粒子の相互作用の詳細から決まる．リュー ビル演算子を用いて簡略化すれば $L[f] = C[f]$ と表される．

ここで、式(9.1.6)で与えられる粒子４元速度$N^\mu$ ，また式 (9.1.14)で与えられるエネルギー運動量テンソル $T^{\mu\nu}$ の発散に 関して，次の式が成り立つ．

$${N^\mu}_{;\mu} = 2c^2 \int d{\mit\Pi}L[f] = 2c^2 \int d{\mit\Pi}C[f]$$ (I.2.37)

$${T^{\mu\nu}}_{;\nu} = 2c^2 \int d{\mit\Pi}P^\mu L[f] = 2c^2 \int d{\mit\Pi}P^\mu C[f]$$ (I.2.38)

これらの式の後半部分はボルツマン方程式から明らかである．前半部分もあら わに計算することによって示される．まず，式

$$\partial_\mu \sqrt{-g} = \sqrt{-g} {\mit\Gamma}^\nu_{\nu\mu}$$ (I.2.39)

を用いて最初の式を微分することにより，

$${N^\mu}_{;\mu} = {N^\mu}_{,\mu} + {\mit\Gamma}^\mu_{\mu\nu} N^\nu... ...eta(P^0) \biggl\{ \delta(P^2 + m^2 c^2) P^\mu \frac{\partial f}{\partial x_\mu}$$

$$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +\; \delta'(P^2 + m^2 c^2) g... ...lambda,\mu} P^\mu P^\nu P^\lambda f \biggr\} + 2{\mit\Gamma}^\mu_{\mu\nu} N^\nu$$ (I.2.40)

となる．ここでリュービル演算子の定義式(9.2.34)を代入してさらに 部分積分すると，

$$\int \sqrt{-g} d^4P \theta(P^0) \delta(P^2 + m^2 c^2) P^\mu \frac{\partial f}{\partial x_\mu}$$

$$\qquad = \int \sqrt{-g} d^4P \theta(P^0) \delta(P^2 + m^2 c^2) \l... ...mma}^\mu_{\nu\lambda} P^\nu P^\lambda \frac{\partial f}{\partial P^\mu} \right)$$

$$\qquad = \int \sqrt{-g} d^4P \theta(P^0) \delta(P^2 + m^2 c^2) \left( L[f] - 2 {\mit\Gamma}^\mu_{\mu\nu} P^\nu f \right)$$

$$\qquad\qquad\qquad -\; \int \sqrt{-g} d^4P \theta(P^0) \delta'(P^2 + m^2 c^2) g_{\nu\lambda,\mu} P^\mu P^\nu P^\lambda f$$ (I.2.41)

となる．ここで，エネルギーは正であるから$P^0$ の符号は変化しないこと， およびクリストッフェル記号の定義式から容易に示せる次の式

$$2 {\mit\Gamma}^\mu_{\nu\lambda} P_\mu P^\nu P^\lambda = g_{\nu\lambda,\mu} P^\mu P^\nu P^\lambda$$ (I.2.42)

を用いた．式(9.2.41)を式(9.2.40)へ代入すれば式 (9.2.37)が示される．式(9.2.38)も同様の計算により示さ れる．