重力レンズ効果

上で見たように，質量なし粒子が膨張宇宙を進んでいくときのエネルギー変化 に対して，ザックスヴォルフェ効果は宇宙のゆらぎの影響を表している．一方， この粒子に対するゆらぎの影響はエネルギーに対するもののみではなく，粒子 の運動経路も変化させる．この結果，この粒子によって観測される天体の位置 は，ゆらぎがない場合とは異なる位置に観測されることになる．これはちょう ど重力ポテンシャルが粒子の経路を曲げることに相当し，宇宙のゆらぎがレン ズの役割をする．この効果は重力レンズ効果(Gravitational lens effect) と呼ばれている．

摂動宇宙での重力レンズ効果を調べるため，摂動計量を用いた測地線方程式の 空間成分の式(13.1.17)から出発する．粒子の経路変化に対し，観測 される重力レンズ効果は天球面上に投影された成分である．そこで，3次元空間 の座標として観測者を中心とする球座標 $(x^1,x^2,x^3) = (\chi,\theta,\phi)$ を 考えると便利である．その非摂動計量はRW計量(2.3.22)の空間部であ り，

$$\gamma_{ij} dx^i dx^j = d\chi^2 + {S_K}^2(\chi) \omega_{ab} dx^a dx^b$$ (M.3.29)

と書くことができる．ただしこの式および以下では $a,b,\ldots$ を角方 向 $\theta,\phi$ のいずれかを表す添字とし，さらに

$$\omega_{ab} dx^a dx^b = d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2$$ (M.3.30)

は球面の計量である．この記法により3次元クリストッフェル記号 ${}^{(3)}{\mit\Gamma}^i_{jk}$ を動径方向$x^1$ と角度方向$x^a$ に分けて計算すると，

$${}^{(3)}{\mit\Gamma}^1_{11} = {}^{(3)}{\mit\Gamma}^1_{1a} = {}^... ...0, \qquad {}^{(3)}{\mit\Gamma}^1_{ab} = - {S_K}(\chi) {C_K}(\chi) \omega_{ab},$$

$${}^{(3)}{\mit\Gamma}^a_{1b} = {}^{(3)}{\mit\Gamma}^a_{b1} = \fra... ...\delta^a_b, \qquad {}^{(3)}{\mit\Gamma}^a_{bc} = {}^{(2)}{\mit\Gamma}^a_{bc}$$ (M.3.31)

となる．ここで， ${}^{(2)}{\mit\Gamma}^a_{bc}$ は計量 $\omega_{ab}$ から導かれ る球面の2次元クリストッフェル記号である．また，式(13.1.13)はい ま，

$$\frac{\partial}{\partial\tau} - \frac{\partial}{\partial\chi} = a^2 \frac{d}{d\lambda}$$ (M.3.32)

となる．これらにより，式(13.1.17)の角成分を計算すれば，

$$a^2 \frac{d}{d\lambda} \left( a^2 \delta P^a \right) - 2 a^2 \fra... ...ht) - \frac{\partial}{\partial x^b} \left( A - B_1 - C_{11} \right) \right] = 0$$ (M.3.33)

となる．ここで， $P^\mu=dx^\mu/d\lambda$ だから， $\alpha = 1$ とおいた 式(13.1.8)により非摂動レベルの測地線上で， $d\lambda = a^2 d\tau = - a^2 d\chi$ が成り立つ．摂動レベルでは測地線の摂動 $\delta x^\mu$ について

$$a^2 \delta P^\mu = a^2 \frac{d}{d\lambda} \delta x^\mu = - \frac{d}{d\chi}\delta x^\mu$$ (M.3.34)

が成り立つ．ここで、$d/d\chi$ は測地線に沿った動系方向のラグランジュ微分 である．これらのことから式(13.3.33)は

$$\frac{d^2}{d\chi^2}\delta x^a + 2 \frac{{C_K}(\chi)}{{S_K}(\chi)}... ...ht) + \frac{\partial}{\partial x^b} \left( A - B_1 - C_{11} \right) \right] = 0$$ (M.3.35)

と変形される．いま，角方向の測地線の摂動を表す新しい変数として，

$$y^a = {S_K}(\chi)\delta x^a, \qquad y_a = \omega_{ab} y^b$$ (M.3.36)

を導入すれば，方程式が

$$\frac{d^2 y_a}{d\chi^2} + K y_a + \frac{1}{{S_K}(\chi)} \left[ \f... ...ht) + \frac{\partial}{\partial x^a} \left( A - B_1 - C_{11} \right) \right] = 0$$ (M.3.37)

という形になる．この方程式は左辺第3項を非斉次項とする2階線形微分方程式 であり、式(12.6.317)で構成したグリーン関数の方法によって一般解が 求められる．斉次方程式 $d^2 y_a /d\chi^2 + K y_a = 0$ の独立な2解は ${S_K}(\chi)$ , ${C_K}(\chi)$ であるから，一般解は

$$y_a(\chi) = c_{1a} {S_K}(\chi) + c_{2a} {C_K}(\chi) - \int_0^\chi... ...b + 2 C_{1b} \right)_{,1} + \left( A - B_1 - C_{11} \right)_{,b} \right](\chi')$$ (M.3.38)

となる．ここで積分の$[\cdots]$ の中は$\chi'$ 上での値である．

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