場の理論の正準形式

正準方程式とポアソン括弧

ここまでラグランジアン形式で考えてきたが、これを正準形式へ移行すること を考えよう。通常の有限自由度の力学系における正準形式への移行を連続場の 場合に拡張すればよい。まず、場$\varphi_a$ の共役運動量を

$$\pi^a(x) = \frac{\delta L}{\delta \dot{\varphi}_a(x)} = \frac{\partial\left({\sqrt{-g}\cal L}\right)} {\partial \dot{\varphi}_a} (x)$$ (H.2.38)

で導入する。$\pi^a(x)$ および $\varphi_a(x)$ を合わせて正準変数と呼ぶ。こ の式から $\dot{\varphi}_a$ を$\pi^a$ , $\varphi_a$ , および $\partial_i \varphi_a$ の関数として表し、ハミルトニアンを構成する：

$$H = \int d^3x \pi^a(x) \dot{\varphi}_a \left[\pi^a(x), \varphi_a(x), \partial_i\varphi_a(x)\right] - L$$ (H.2.39)

これは、正準変数の汎関数となっている。ここで、ハミルトニアン密度 ${\cal H}(x)$ を

$$H = \int \sqrt{-g}d^3x {\cal H}(x)$$ (H.2.40)

で定義すると、

$${\cal H}(x) = \frac{1}{\sqrt{-g}} \pi^a(x) \dot{\varphi}_a(x) - {\cal L}(x)$$ (H.2.41)

である。ここで、左辺では式(8.2.38)を使って $\pi^a(x), \varphi_a(x), \partial_i\varphi_a(x)$ の関数として表してあるものとする。 このことに注意すると、オイラー・ラグランジュの方程式(8.1.8)と 式(8.2.39)により、正準方程式

$$\frac{d\pi^a(x)}{dt} = - \frac{\delta H}{\delta\varphi_a(x)} = - \frac{\partial(\sqrt{-... ...[ \frac{\partial(\sqrt{-g}{\cal H})} {\partial(\partial_i\varphi_a)} \right]$$ (H.2.42)

$$\frac{d\varphi_a(x)}{dt} = \frac{\delta H}{\delta\pi^a(x)} = \frac{\partial(\sqrt{-g}{\cal H})}{\partial\pi^a}$$ (H.2.43)

が導かれる。

これら、正準方程式により、一般に正準変数$\pi^a(x)$ , $\varphi_a(x)$ の任 意汎関数 $F[\pi, \varphi]$ の時間微分は、

$$\frac{d}{dt}F[\pi, \varphi] = \int d^3x \left[ \frac{\delta F}{\d... ...ldmath$x$}})} \frac{\delta H}{\delta\varphi_a(t,{\mbox{\boldmath$x$}})} \right]$$ (H.2.44)

となる。ここで、正準変数の任意汎関数$F_1$ , $F_2$ についてのポアソン括 弧を次式で定義する：

$$\left\{F_1, F_2\right\}_{\rm P} = \int d^3x \left[ \frac{\delta F... ...}{\delta\varphi_a(t,{\mbox{\boldmath$x$}})} \right] = - \left\{F_2, F_1\right\}$$ (H.2.45)

すると容易に、

$$\begin{array}{l} \left\{\varphi_a(t,{\mbox{\boldmath$x$}}), \... ...ta^3({\mbox{\boldmath$x$}} - {\mbox{\boldmath$y$}}) \end{array}$$ (H.2.46)

が導かれる。また、正準方程式(8.2.42), (8.2.43)は

$$\frac{d\pi^a(x)}{dt} = \left\{\pi^a(x), H \right\}_{\rm P},\qquad \frac{d\varphi_a(x)}{dt} = \left\{\varphi_a(x), H \right\}_{\rm P}$$ (H.2.47)

と表すことができる。同様に、式(8.2.44)は

$$\frac{dF}{dt} = \left\{ F, H \right\}_{\rm P}$$ (H.2.48)

となる。

正準方程式の相対論的一般化

正準エネルギー運動量テンソルからつくられる保存量$P_\mu$ は

$$P_\mu = - \int d^3x \frac{\partial(\sqrt{-g}{\cal L})}{\partial \dot{\varphi}_a} \partial_\mu \varphi_a + \frac{1}{c}\delta^0_\mu L$$ (H.2.49)

である。これを正準変数で書き表したとき、その時間成分は式 (8.2.39)で与えられるハミルトニアンと $P_0 = - H/c$ の関係にある ことがわかる。すると、式(8.2.48)を場の量 $F= {\cal F}(x)$ につい て適用した式は、

$$\frac{\partial {\cal F}(x)}{\partial x^0} = \left\{ P_0, {\cal F}(x) \right\}_{\rm P}$$ (H.2.50)

とかくことができる。理論が相対論的に不変であるならば、この式の一般化で ある

$$\frac{\partial {\cal F}(x)}{\partial x^\mu} = \left\{ P_\mu, {\cal F}(x) \right\}_{\rm P}$$ (H.2.51)

が成り立つはずである。実際、式(8.2.49)の空間成分

$$P_i = - \int d^3x \pi^a(x) \partial_i \varphi_a(x)$$ (H.2.52)

により、ポアソン括弧を直接計算すれば、式(8.2.51)の空間成分を示 すことができる。この${\cal F}$ として正準変数そのものをとると、

$$\frac{\partial \pi^a(x)}{\partial x^\mu} = \left\{ P_\mu, \pi^a(x... ...al \varphi_a(x)}{\partial x^\mu} = \left\{ P_\mu, \varphi_a(x) \right\}_{\rm P}$$ (H.2.53)

となる。これが相対論的に一般化された正準方程式である。