ホライズン

粒子的ホライズン

ビッグバンのある宇宙モデルでは宇宙年齢が有限であるため，光の届く範囲に は限りがあり，我々の観測できる宇宙の範囲も有限にとどまる．同様に，ある 時刻$t$ において，ある点がそれまでに受けることのできる情報の範囲も有限 である．このように，それまでに受けることのできる宇宙の情報の範囲の境界 のことを粒子的ホライズン (particle horizon)と呼ぶ．ヌル測 地線を考えることにより，共動距離にして，

$$L_{\rm H}(t) = \int_0^{L_{\rm H}} d\chi = \int_0^t \frac{c dt}{a(t)} = c \int_0^a \frac{da}{a^2 H(a)}$$ (C.7.76)

となる．

実距離にした粒子的ホライズンは $l_{\rm H} = a(t) L_{\rm H}$ である．実距 離の粒子的ホライズンの漸近的ふるまいは

$${\mbox 輻射優勢期} : \qquad l_{\rm H} \simeq \frac{c a^2}{H_0\sqrt{{\mit\Omega}_{\rm r0}}} \simeq 2 c t$$ (C.7.77)

$${\mbox 物質優勢期} : \qquad l_{\rm H} \simeq \frac{2 c a^{3/2}}{H_0\sqrt{{\mit\Omega}_{\rm m0}}} \simeq 3 c t$$ (C.7.78)

$${\mbox 曲率優勢期} : \qquad l_{\rm H} \simeq c t \ln\left(\frac{t}{t_K}\right)$$ (C.7.79)

$${\mbox 真空エネルギー優勢期} : \qquad l_{\rm H} \simeq \frac{c}{H_0\sqrt{{\mit\Omega}_{{\mit\La... ...\frac{{\mit\Lambda}}{3}} \left( t - t_{\mit\Lambda}\right)\right] - 1 \right\}$$ (C.7.80)

となる．ここで，$t_K$ , $t_{\mit\Lambda}$ はそれぞれ曲率優勢，真空エネルギー 優勢になり始める時期である．

真空エネルギー優勢期では，共動的な粒子的ホライズン$L_{\rm H}$ は一定値 に近づく．これは，あまりに速い膨張のため，いくら時間が経っても情報の得 られない領域が存在することを示している．

事象的ホライズン

ある時点において過去から得られる情報の範囲が粒子的ホライズンであるが， これに対して，未来に得られるであろう情報の範囲は，事象的ホライズ ン (event horizon) と呼ばれる．これは共動距離にして，

$$L_{\rm E}(t) = \int_0^{L_{\rm E}} d\chi = \int_t^\infty \frac{c dt}{a(t)} = c \int_a^\infty \frac{da}{a^2 H(a)}$$ (C.7.81)

で与えられる．実距離の事象的ホライズンは $l_{\rm E} = a L_{\rm E}$ で与 えられる．

輻射優勢，物質優勢，曲率優勢の場合はいずれも，事象的ホライズンは無限大 に発散する．これは粒子的ホライズンが無限に広がることにより，見える範囲 も無限に大きくなっていくことに対応している．一方，真空エネルギー優勢の ドジッター宇宙では，実距離の事象的ホライズンは

$${\mbox 真空エネルギー優勢期}: \qquad l_{\rm E} \simeq \frac{c}{H_0\sqrt{{\mit\Omega}_{{\mit\Lambda}0}}} = {\mbox 一定}$$ (C.7.82)

と，一定値に近づく．したがって，真空エネルギー優勢期における共動的な事 象的ホライズンは $\propto a^{-1}$ のように減少する．つまり，共動座標上に 固定されている物質は次々と事象的ホライズンの外へ出ていくことになる．