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見かけのサイズ

次に,天体の見かけのサイズがRW計量のもとでどう見えるか調べてみる.天体 の視線方向に垂直なサイズを$ l$ とし,見かけの角度を $ \Delta\theta$ とする. ここで角度 $ \Delta\theta$ は十分小さいものとする.すると,静止ユークリッ ド空間では,

$\displaystyle \Delta\theta = \frac{l}{r}$ (B.7.58)

が成り立つが,RW計量ではこれに変更が加わる.RW計量において, $ dr =
d\phi = 0$ とおくことにより,視線に垂直な方向に実距離$ l$ だけ離れた2点 A, Bを考えれば,

$\displaystyle l = \int_A^B cdt = a r \int_A^B d\theta = a r \Delta\theta = \frac{r}{1+z}\Delta\theta$ (B.7.59)

となる.つまり,見かけの角度は

$\displaystyle \Delta\theta = \frac{(1+z) l}{r}$ (B.7.60)

である.

ここで,あたかも静止ユークリッド空間であるかのようにして見かけの角度か ら見積もった距離

$\displaystyle d_{\rm A} = \frac{l}{\Delta\theta} = \frac{r}{1+z}$ (B.7.61)

を角径距離(angular diameter distance)という.光度距離との 間には

$\displaystyle d_{\rm A} = \frac{d_{\rm L}}{(1+z)^2}$ (B.7.62)

の関係があり,赤方偏移によるテイラー展開は

$\displaystyle d_{\rm A} = \frac{c}{H_0} \left[ z - \frac12 (3 + q_0) z^2 + {\cal O}(z^3) \right]$ (B.7.63)

となる.




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