見かけのサイズ

次に，天体の見かけのサイズがRW計量のもとでどう見えるか調べてみる．天体 の視線方向に垂直なサイズを$l$ とし，見かけの角度を $\Delta\theta$ とする． ここで角度 $\Delta\theta$ は十分小さいものとする．すると，静止ユークリッ ド空間では，

$$\Delta\theta = \frac{l}{r}$$ (B.7.58)

が成り立つが，RW計量ではこれに変更が加わる．RW計量において， $dr = d\phi = 0$ とおくことにより，視線に垂直な方向に実距離$l$ だけ離れた２点 A, Bを考えれば，

$$l = \int_A^B cdt = a r \int_A^B d\theta = a r \Delta\theta = \frac{r}{1+z}\Delta\theta$$ (B.7.59)

となる．つまり，見かけの角度は

$$\Delta\theta = \frac{(1+z) l}{r}$$ (B.7.60)

である．

ここで，あたかも静止ユークリッド空間であるかのようにして見かけの角度か ら見積もった距離

$$d_{\rm A} = \frac{l}{\Delta\theta} = \frac{r}{1+z}$$ (B.7.61)

を角径距離(angular diameter distance)という．光度距離との 間には

$$d_{\rm A} = \frac{d_{\rm L}}{(1+z)^2}$$ (B.7.62)

の関係があり，赤方偏移によるテイラー展開は

$$d_{\rm A} = \frac{c}{H_0} \left[ z - \frac12 (3 + q_0) z^2 + {\cal O}(z^3) \right]$$ (B.7.63)

となる．