見かけの明るさ

光の伝播の途中で吸収がない理想的な場合，天体そのものの光度 (luminosity) $L$ と我々が観測する見かけの天体の明るさ$F$ は比例する．こ こで，$L$ は天体の静止系において単位時間あたりに放出される全エネルギー であり，$F$ は単位面積，単位時間あたりに観測者が受けるエネルギーであり， これを観測者の位置でのフラックス (flux) という．静止ユークリッド空間で の関係は

$$F = \frac{L}{4 \pi r^2}$$ (B.5.30)

であるが，RW計量では膨張と曲率の効果により，この関係は変更を受ける．

まず，赤方偏移によって光のエネルギーが小さくなる．そこで，光源において 波長範囲 $\lambda \sim \lambda + d\lambda$ の中に放出されるエネルギーを $L\cdot I(\lambda) d\lambda$ とする．ここで，$L$ は全放出エネルギーであ り， $I(\lambda)$ はエネルギー分布を表す関数で，規格化

$$\int_0^\infty I(\lambda) d\lambda = 1$$ (B.5.31)

を持つ．光源から，波長範囲 $\lambda \sim \lambda + \Delta\lambda$ ，時間 範囲 $t \sim t + \Delta t$ の間に放出されるエネルギーは

$$\Delta E = L\cdot I(\lambda)\Delta\lambda \Delta t$$ (B.5.32)

である．1光子あたりのエネルギーは $2\pi\hbar c/\lambda$ であるから，その 光子数は

$$\Delta N = \frac{\Delta E}{2\pi\hbar c/\lambda} = \frac{L}{2\pi\hbar c} \lambda I(\lambda) \Delta\lambda \Delta t$$ (B.5.33)

である．ここで，対応する光を観測者が観測するときの波長$\lambda_0$ ，時 間間隔 $\Delta t_0$ は赤方偏移によって， $\lambda_0 = (1 + z)\lambda$ , $\Delta t_0 = (1 + z) \Delta t$ となるので，式(2.5.33)は

$$\Delta N = \frac{1}{(1 + z)^3} \frac{L}{2\pi\hbar c} \lambda_0 I\left(\frac{\lambda_0}{1 + z}\right) \Delta\lambda_0 \Delta t_0$$ (B.5.34)

と表される．光源からRW計量の座標距離$r$ にある球面の面積は$4\pi r^2$ で ある(そうなるように座標距離が定義された)．したがって，観測者が単位面積， 単位時間あたりに受けるエネルギーは

$$F(\lambda_0) \Delta\lambda_0 = \frac{2\pi \hbar c/\lambda_0\cdot\Delta N }{4\pi r^2 \Delta t_0}$$ (B.5.35)

であるから，観測者の位置でのフラックスは，

$$F(\lambda_0) = \frac{L\cdot I\left[\lambda_0/(1+z)\right]}{4\pi r^2 (1+z)^3}$$ (B.5.36)

である．

放射の全エネルギーを測る抵抗熱量計のことをボロメータ (bolometer) とい う．ボロメータによって測定したエネルギーは全波長で積分したフラックスに 対応するので，これをボロメトリックフラックス (bolometric flux)と言い，

$$F_{\rm bol} = \int^\infty_0 d\lambda_0 F(\lambda_0)$$ (B.5.37)

で与えられる．また，天体から放出される全エネルギーはボロメトリック光度 に対応し，

$$L_{\rm bol} = \int^\infty_0 d\lambda L\cdot I(\lambda) = L$$ (B.5.38)

である．したがって，これらの関係はよりシンプルに，

$$F_{\rm bol} = \frac{L_{\rm bol}}{4\pi r^2 (1+z)^2}$$ (B.5.39)

となる．このボロメトリックな量を用いて，あたかも静止ユークリッド空間で あるかのように天体までの距離を見積もったものを，光度距離(luminosity distance) $d_{\rm L}$ という：

$$d_{\rm L} \equiv \sqrt{\frac{L_{\rm bol}}{4\pi F_{\rm bol}}} = (1 + z) r$$ (B.5.40)

さて，フラックスを対数スケールで表したものは伝統的な等級 (magnitude) である．ボロメトリックな見かけの等級は

$$m = -2.5 \log \left(\frac{F_{\rm bol}}{F_0 } \right)$$ (B.5.41)

で与えられる^B1．ここで，

$$F_0 = 2.52 \times 10^{-5} {\rm erg} \cdot {\rm cm}^{-2} \cdot {\rm s}^{-1}$$ (B.5.42)

は等級がゼロに対応するフラックスである．また，ある天体が10pcの距離にあっ たとしたときの見かけの等級は絶対等級と呼び，ボロメトリックの場合

$$M = -2.5 \log \left(\frac{L_{\rm bol}}{ 4\pi (10{\rm pc})^2 F_0} \right)$$ (B.5.43)

で与えられる．これらの等級を用いれば，光度距離は

$$d_{\rm L} = 10^{1 + 0.2(m - M)} {\rm pc}$$ (B.5.44)

となる．したがって$m-M$ は光度距離と一対一の関係にあるため，これを 距離指数 (distance modulus) と呼び，以下のような式で与えられる：

$$m - M = 5 \log\left(\frac{d_{\rm L}}{10{\rm pc}}\right)$$

$$= 5 \log\left(\frac{d_{\rm L}}{{\rm pc}}\right) - 5$$

$$= 5 \log\left(\frac{d_{\rm L}}{{\rm Mpc}}\right) + 25$$

$$= 5 \log\left(\frac{r}{{\rm Mpc}}\right) + 5 \log(1 + z) + 25$$ (B.5.45)

全光度を測定しない，あるいはできない場合は波長の範囲を限定した観測とな り，上のようなシンプルな式には補正が必要である．これをＫ-補正 (K-correction)と呼ぶ．あるバンドBandに限定した観測を行うことを 考えてみる．このときのフラックスは

$$F_{\rm Band} = \int_{\rm Band} F(\lambda_0) d\lambda_0 = \frac{L\int_{\rm Band} I[\lambda_0/(1+z)] d\lambda_0} {4\pi r^2 (1 + z)^3}$$ (B.5.46)

で与えられる．この天体が10pcにあるとしたときのフラックスは

$$F_{\rm Band,10} = \frac{L\int_{\rm Band} I(\lambda_0) d\lambda_0} {4\pi (10{\rm pc})^2}$$ (B.5.47)

であるから，このバンドでの距離指数は，

$$m_{\rm Band} - M_{\rm Band} = 5 \log\left(\frac{d_{\rm L}}{10{\rm pc}}\right) - K(z)$$ (B.5.48)

となる．ここで，$K(z)$ がＫ-補正であり，

$$K(z) = 2.5 \log \left(\frac{\int_{\rm Band} I[\lambda_0/(1+z)] d\lambda_0/(1+z)} {\int_{\rm Band} I(\lambda_0) d\lambda_0} \right)$$ (B.5.49)

で与えられる．これは天体のスペクトル分布 $I(\lambda)$ を知ることにより計 算できる．

Footnotes

... で与えられる^B1

$\log$ は10の対数$\log_{10}$ である．