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球面調和関数

いくつかの特殊な値:

$\displaystyle Y_0^0(\theta,\phi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{4\pi}},$ (C.3.13)
$\displaystyle Y_1^0(\theta,\phi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \cos\theta,$ (C.3.14)
$\displaystyle Y_1^{\pm 1}(\theta,\phi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \mp \sqrt{\frac{3}{8\pi}} \sin\theta  e^{\pm i\phi},$ (C.3.15)
$\displaystyle Y_2^0(\theta,\phi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\frac{5}{16\pi}}
\left( 3 \cos^2\theta - 1\right)$ (C.3.16)
$\displaystyle Y_2^{\pm 1}(\theta,\phi)$ $\displaystyle =$ $ \displaystyle \mp \sqrt{\frac{15}{8\pi}} \sin\theta \cos\theta e^{\pm i\phi}$ (C.3.17)
$\displaystyle Y_2^{\pm 2}(\theta,\phi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\frac{15}{32\pi}} \sin^2\theta  e^{\pm 2i\phi}$ (C.3.18)

以下,角度方向を $ (\theta,\phi)$ , $ {\mit\Omega}$ , $ \hat{{\mbox{\boldmath $r$}}}$ などの記法 で表す.直交性と完全性:

    $\displaystyle \int d{\mit\Omega}Y_l^{m*}({\mit\Omega}) Y_{l'}^{m'}({\mit\Omega})
= \delta_{mm'} \delta_{ll'}$ (C.3.19)
    $\displaystyle \sum_{l = 0}^\infty \sum_{m = -l}^{l}
Y_l^{m*}({\mit\Omega}) Y_{...
...a}')
= \frac{\delta(\theta - \theta')
\delta(\varphi - \varphi')}{\sin\theta}$ (C.3.20)

パリティ変換:

$\displaystyle Y_l^m(\pi-\theta,\phi+\pi) = (-1)^l Y_l^m(\theta,\phi), \quad Y_l^m(-\hat{{\mbox{\boldmath$r$}}}) = (-1)^l Y_l^m(\hat{{\mbox{\boldmath$r$}}})$ (C.3.21)

複素共役:

$\displaystyle {Y_l^m}^*({\mit\Omega}) = (-1)^m Y_l^{-m}({\mit\Omega})$ (C.3.22)

ルジャンドル関数による表示C1

$\displaystyle Y_l^m(\theta,\varphi) = \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}} \sqrt{\frac{(l-m...
... \left\{ \begin{array}{ll} (-1)^m & (m\geq 0) 1 & (m < 0) \end{array} \right.$ (C.3.23)

次の性質がある:
    $\displaystyle Y_l^m(0, \varphi) =
\delta_{m0} \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}}$ (C.3.24)
    $\displaystyle Y_l^0(\theta, \varphi) =
\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}} P_l(\cos\theta)$ (C.3.25)
    $\displaystyle \int_0^{2\pi} d\varphi Y_l^m(\theta,\varphi) =
2\pi\delta_{m0} \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}}
P_l(\cos\theta)$ (C.3.26)



Footnotes

... ルジャンドル関数による表示C1
この関係はCondon-Shortleyの定義と 呼ばれるものであり,文献によっては正負の$ m$ の値によって$ (-1)^m$ の因子 が異なるものが用いられることもある

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