特殊相対性理論

ローレンツ変換

任意の慣性系においては時間座標$t$ および３次元空間のデカルト座標 $(x,y,z)$ を張ることができるが，これをまとめて $(x^0,x^1,x^2,x^3) = (ct,x,y,z)$ と対応させ，この座標を一般的に$x^\mu$ で表す．ここで，$c$ は 光速である．また， $\mu = 0,1,2,3$ である．今後，断らない限り一般的にギ リシャ文字 $\mu,\nu,\ldots$ などの添字は$0,1,2,3$ をとるものとする．また， ラテン文字 $i,j,\ldots$ は空間成分$1,2,3$ のみをとるものとする．例えば $x^i$ はこの慣性系の空間座標を表す．このとき，座標の値が $\Delta x^\mu$ だけ離れた２点の時空間隔$\Delta s$ を

$$(\Delta s)^2 = - c^2 (\Delta t)^2 + (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 +(\Delta z)^2 = \eta_{\mu\nu} \Delta x^\mu \Delta x^\nu$$ (B.1.1)

で定義する．ここで $\eta_{\mu\nu}$ はミンコフスキー空間の計量テンソ ルであり，その成分は対角行列

$$\left(\eta_{\mu\nu}\right) = \left( \begin{array}{cccc}-1&&0 &+1&& &&+1& 0&&&+1\end{array} \right)$$ (B.1.2)

である．また，上下に対になって現れる添字については和をとるという 和の規約を用いる．

光速度が観測者の運動状態にかかわらず一定であることが特殊相対論の出発点 であるが，これは時空間隔(B.1.1)がある慣性系$x^\mu$ から別の慣性系 ${x'}^\mu$ へ移っても不変であることを要求する．すると，この２つの座標成 分同士の関係は線形でなければならないので，原点を共通にとって

$${x'}^\alpha = \frac{\partial {x'}^\alpha}{\partial x^\mu} x^\mu \equiv {{\mit\Lambda}^{\alpha}}_\mu x^\mu$$ (B.1.3)

と書けば，その変換係数 ${{\mit\Lambda}^{\alpha}}_\mu x^\mu$ は

$$\eta_{\mu\nu} = {{\mit\Lambda}^{\alpha}}_\mu {{\mit\Lambda}^{\beta}}_\mu \eta_{\alpha\beta}$$ (B.1.4)

を満たす．このとき式(B.1.3)をローレンツ変換と呼ぶ．

時間反転やパリティ変換のように時空の符号を換えるようなものを除けば，ロー レンツ変換は空間座標の回転とブーストで表される．ブーストとはある座標系 から相対的に一定の速度を持つ別の座標系への変換である．例えば，$x$ 軸方 向への速度$v$ のブーストはよく知られた次の形となる．

$$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle t' = \gamma \left( t - \frac{v}{c^2}x\right) x' = \gamma (x - vt) y' = y z' = z \end{array} \right.$$ (B.1.5)

ただし，

$$\gamma = \frac{1}{\displaystyle \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$ (B.1.6)

はローレンツ因子である．任意の方向 ${\mbox{\boldmath $n$}}$ (ただし ${\mbox{\boldmath $n$}}$ は単 位ベクトルで ${\mbox{\boldmath $n$}}\cdot{\mbox{\boldmath $n$}}=1$ を満たす)への速度$v$ のブーストは

$$\left({{\mit\Lambda}^{\alpha}}_\mu\right) = \left( \begin{array}{... ... n^j/c -v\gamma n^i/c & (\gamma-1) n^i n^j + \delta^{ij} \end{array} \right)$$ (B.1.7)

と表される．

無限小ローレンツ変換は６個の成分を持つ$4\times 4$ 反対称行列

$$\epsilon^{\alpha\beta} = -\epsilon^{\beta\alpha}$$ (B.1.8)

を用いて、

$${{\mit\Lambda}^{\alpha}}_\mu = \frac{\partial {x'}^\alpha}{\partial x^\mu} = \delta^\alpha_\mu + \epsilon^{\alpha\beta} \eta_{\beta\mu}$$ (B.1.9)

と表すことができる。

スカラー、４元ベクトル，テンソル

ローレンツ変換に対して値を変えない量をスカラー(scalar)と呼ぶ。ま た、４元ベクトル$A^\mu$ は４つの成分を持ち，ローレンツ変換のもと で$x^\mu$ のように変換するものとして定義される：

$${A'}^\alpha = \frac{\partial {x'}^\alpha}{\partial x^\mu} A^\mu$$ (B.1.10)

２つの４元ベクトル$A^\mu$ , $B^\mu$ の内積を $\eta_{\mu\nu} A^\mu B^\nu$ で定義すれば，この量はあらゆる慣性系で同じ値をとる，すなわち，ロー レンツ不変である．このような量をスカラーという．

任意の４元ベクトル$A^\mu$ に対して，下つき添字のベクトル $A_\mu = \eta_{\mu\nu} A^\nu$ を定義する．すると内積は $A_\mu B^\mu$ などと表すこ とができる．下つき添字のベクトルは次のように変換する：

$${A'}_\alpha = \frac{\partial x^\mu}{\partial {x'}^\alpha} A_\mu$$ (B.1.11)

下つき添字のベクトルは共変ベクトルとも呼ばれる．これに対して上つ き添字のベクトルは反変ベクトルと呼ぶ．

２つのベクトルの積 $A^\mu B^\nu$ と同じ変換をするものを２階テンソル という．すなわち，２階テンソル $C^{\mu\nu}$ は

$${C'}^{\alpha\beta} = \frac{\partial {x'}^\alpha}{\partial x^\mu} \frac{\partial {x'}^\beta}{\partial x^\nu} C^{\mu\nu}$$ (B.1.12)

である．片方，あるいは両方の添字は ${C^\mu}_\nu = \eta_{\nu\lambda} C^{\mu\lambda}$ , $C_{\mu\nu} = \eta_{\mu\lambda} \eta_{\nu\sigma} C^{\lambda\sigma}$ などのように下げることができ，その変換則は

$${{C'}^\alpha}_\beta = \frac{\partial {x'}^\alpha}{\partial x^\mu} \frac{\partial x^\nu}{\partial {x'}^\beta} {C^\mu}_\nu$$ (B.1.13)

$${C'}_{\alpha\beta} = \frac{\partial x^\mu}{\partial {x'}^\alpha} \frac{\partial x^\nu}{\partial {x'}^\beta} C_{\mu\nu}$$ (B.1.14)

などとなる．３階テンソルや，高階のテンソルも同様に定義できる．また，ス カラーとベクトルはそれぞれ０階および１階のテンソルと考えられる．

さて，$n$ 階のテンソルにおいて上下２つの添字の対をとって和をとると，残 りの添字について$(n-2)$ 階のテンソルとなる．例えば $C^{\mu\lambda}_{\lambda\nu}$ は２階のテンソルとなる．これをテンソルの 縮約という．

微分 $\partial_\mu \equiv \partial/\partial x^\mu$ は下つき添字の４元ベ クトルである．したがって，$n$ 階テンソルに作用すれば$(n+1)$ 階テンソルを つくる．

計量 $\eta_{\mu\nu}$ は下つきの２階テンソルである．この計量テンソルはク ロネッカーデルタ

$$\delta^\mu_\nu = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \qquad (\mu = \nu) 0 & \qquad (\mu \neq \nu) \end{array} \right.$$ (B.1.15)

を用いれば，任意の慣性系において ${\eta^\mu}_\nu = {\eta_\nu}^\mu = \delta^\mu_\nu$ となる．また， $\eta^{\mu\nu}$ は $\eta_{\mu\nu}$ と全く同 じ成分を持っている．

テンソルの対称化と反対称化

高階テンソルは、添字の交換に対して対称性を持つようなテンソルが有用な場 合がよくある。例えば、2階テンソル $C^{\mu\nu}$ に対して添字の交換をして も同じ値をもつテンソル、および符号のみが反転するテンソルを次のように作 ることができる：

$$C^{(\mu\nu)} = \frac12\left(C^{\mu\nu} + C^{\nu\mu}\right), \qquad C^{[\mu\nu]} = \frac12\left(C^{\mu\nu} - C^{\nu\mu}\right)$$ (B.1.16)

テンソルの和や差も依然テンソルであるから、これらの量はテンソルである。 このような操作をテンソルの対称化、反対称化という。3階テンソルの対称化、 反対称化は次のようになる：

$$C^{(\mu\nu\rho)} = \frac{1}{3!} \left( C^{\mu\nu\rho} + C^{\nu\rho\mu} + C^{\rho\mu\nu} + C^{\nu\mu\rho} + C^{\mu\rho\nu} + C^{\rho\nu\mu} \right)$$ (B.1.17)

$$C^{[\mu\nu\rho]} = \frac{1}{3!} \left( C^{\mu\nu\rho} + C^{\nu\rho\mu} + C^{\rho\mu\nu} - C^{\nu\mu\rho} - C^{\mu\rho\nu} - C^{\rho\nu\mu} \right)$$ (B.1.18)

さらに一般の$n$ 階テンソルについては

$$C^{(\mu_1\cdots\mu_n)} = \frac{1}{n!} \sum_{\rm perm.} C^{\mu_{i_1}\cdots\mu_{i_n}}$$ (B.1.19)

$$C^{[\mu_1\cdots\mu_n]} = \frac{1}{n!} \sum_{\rm perm.} (-)^P C^{\mu_{i_1}\cdots\mu_{i_n}}$$ (B.1.20)

と表わされる。ここで和はすべての添字の置換 $k \rightarrow i_k$ ( $k = 1,\ldots n$ )について取り、$(-)^P$ は偶置換のとき$+$ , 奇置換のとき$-$ を 表わす。

エネルギー・運動量テンソル

ある慣性系の中を質量のある粒子が動くとき，粒子と共に動く共動座標 で計った時間をその粒子の固有時という．光速を単位にした，単位固有 時あたりの粒子の座標の変化量 $u^\mu = c^{-1}dx^\mu/d\tau$ を4元速 度といい， $\eta_{\mu\nu} u^\mu u^\nu = -1$ を満たす．つまり4元速度は 粒子の世界線に沿った単位接ベクトルである．また，粒子の３次元速度ベクト ルを $v^i = dx^i/dt$ とすると，一般の慣性系から見た４元速度の成分は

$$(u^\mu) = \left( \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}},\frac{v^i/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \right)$$ (B.1.21)

である．粒子の共動座標系では $(u^\mu) = (1,0,0,0)$ となる．粒子の静止質 量を$m$ とすると，４元運動量は $P^\mu = m c u^\mu$ で定義される．

物質の状態がエネルギーや運動量，圧力などが場所のなめらかな関数，すなわ ち流体で表せるとする．このとき，時空のある一点におけるエネルギー密度を $T^{00}$ とする．また，空間座標成分$x^i$ が一定の面を単位時間，単位面積 あたりに横切るエネルギーを$cT^{0i}$ とする．運動量の$i$ 成分の密度を $T^{i0}/c$ とする．さらに，空間的なストレステンソルを$T^{ij}$ とする．こ のとき， $T^{\mu\nu}$ は対称２階テンソルとなることが示される．すなわち， エネルギー流の密度は運動量密度の$c^2$ 倍に等しい．これをエネルギー・ 運動量テンソルと呼ぶ．外力が物質に働いていないとき，エネルギー保存則， および運動量保存則はまとめて

$$\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0$$ (B.1.22)

と表される．外力 ${\mbox{\boldmath $f$}}$ が働いていれば，４元力

$$(f^\mu) = \left( \frac{{\mbox{\boldmath$f$}}\cdot{\mbox{\boldmath$v$}}/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}, \frac{f^i}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \right)$$ (B.1.23)

がこれに付け加わり，

$$\partial_\mu T^{\mu\nu} = f^\nu$$ (B.1.24)

となる．

この流体の微小体積を考え，そこに局所的な共動座標系をとる．この座標系で は局所的にエネルギーの流れあるいは運動量は消えるので， $T^{0i} = 0$ とな る．また，この局所共動座標で $T^{00} = \rho$ は流体のエネルギー密度を表 している．このような局所共動座標において等方的な流体を完全流体と いう．等方性はストレステンソルが $T^{ij} = p \delta_{ij}$ の形で与えられ ることを要求し，$p$ は圧力に対応する．完全流体においては熱伝導や粘性が ない．従って，完全流体のエネルギー・運動量テンソルの局所共動座標系の成 分は対角行列

$$(T^{\mu\nu}) = \left( \begin{array}{cccc}\rho &&& 0 &p&& &&p& 0&&&p\end{array} \right)$$ (B.1.25)

で与えられる．したがってこれを一般の慣性系で表すと，この流体の微小体積 の４元速度$u^\mu$ を用いて，

$$T^{\mu\nu} = (\rho + p) u^\mu u^\nu + p \eta^{\mu\nu}$$ (B.1.26)

$$= \rho u^\mu u^\nu + p P^{\mu\nu}$$ (B.1.27)

となる．ここで、

$$P^{\mu\nu} = \eta^{\mu\nu} + u^\mu u^\nu$$ (B.1.28)

は$u^\mu$ の垂直方向への射影テンソルである．

一般の粘性流体においては空間成分に非等方ストレス $\Sigma^{ij}$ が付け加 わり，式(B.1.25)は

$$(T^{\mu\nu}) = \left( \begin{array}{cccc} \rho & 0 & 0 & 0 0 &p... ...igma^{23} 0 & \Sigma^{31} & \Sigma^{32} & p + \Sigma^{33} \end{array} \right)$$ (B.1.29)

となる．ここで，非等方ストレスはトレースレス ${\Sigma^i}_i = 0$ である． トレース部分は圧力の等方成分ですでに表されている．これも同様に一般の座 標で書き表すと，

$$T^{\mu\nu} = (\rho + p) u^\mu u^\nu + p \eta^{\mu\nu} + \Sigma^{\mu\nu}$$ (B.1.30)

$$= \rho u^\mu u^\nu + p P^{\mu\nu} + \Sigma^{\mu\nu}$$ (B.1.31)

となる．ここで，非等方ストレステンソル $\Sigma^{\mu\nu}$ はトレースなし で4元速度に垂直成分のみを持つ対称テンソルである：

$${\Sigma^\mu}_\mu = 0, \quad \Sigma^{\mu\nu} u_\nu = 0,\quad \Sigma^{\mu\nu} = \Sigma^{\nu\mu}$$ (B.1.32)